Hermite–Hadamard-egyenlőtlenség

matematikai fogalom

A matematikai analízis nevezetes Hermite–Hadamard-egyenlőtlensége Charles Hermite és Jacques Hadamard matematikusokról kapta nevét. Az egyenlőtlenség azt állítja, hogy amennyiben ƒ : [ab] → R konvex függvény, akkor

Geometriailag az egyenlőtlenség azt állítja, hogy a konvex f függvény [a,b] intervallumon számított integrálja (vagyis az f grafikonja alatti terület) nagyobb vagy egyenlő, mint a b-a és f((a+b)/2) méretekkel rendelkező téglalap területe, valamint kisebb vagy egyenlő az (a,0);(a,f(a));(b,f(b));(b,0) csúcsokkal rendelkező trapéz területénél. Az egyenlőtlenségben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha f lineáris függvény. A fenti egyenlőtlenség ekvivalens f Jensen konvexitásával.

Az egyenlőtlenség jobb oldalának egyik legtermészetesebb általánosítása Retkes Zoltán nevéhez fűződik. Ahhoz, hogy az általános eredményt meg tudjuk fogalmazni, be kell vezetni az f iterált integráljainak fogalmát. Valójában ez a fogalom a deriválás negatív egész kitevőjű kiterjesztése. Az antiderivált kifejezés így nyer értelmet.

Az iterált integrálok sorozata szerkesztés

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, és legyen f:[a,b]→ℝ integrálható valós függvény [a,b]-n. A fenti feltételek mellett az f iterált integráljainak sorozatát a következőképp definiáljuk az a≤s≤b értékekre:

 
 
 
 
 
 

Példa 1 szerkesztés

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)≡1. Ekkor a konstans 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

 
 
 
 
 
 

Példa 2 szerkesztés

Legyen [a,b]=[-1,1] és f(s)≡1. Ekkor az 1 függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [-1,1]-en, és

 
 
 
 
 
 

Példa 3 szerkesztés

Legyen [a,b]=[0,1] és f(s)=es. Ekkor az f függvény iterált integráljainak sorozata definiált a [0,1]-en, és

 
 
 
 
 
 

Tétel (Retkes-egyenlőtlenség) szerkesztés

Tegyük fel, hogy −∞<a<b<∞, legyen f:[a,b]→R konvex függvény, a<xi<b, i=1,...,n olyanok, hogy xi≠xj, ha i≠j. Ekkor a következő egyenlőtlenség áll fenn:

 

ahol

 

A konkáv esetben ≤ helyett ≥ érvényes.

Megjegyzés 1. Ha f szigorúan konvex, akkor ≤ helyett < érvényes, valamint egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f lineáris.

Megjegyzés 2. Az egyenlőtlenség a következő értelemben éles: legyenek   és  

Ekkor a bal oldal határértéke létezik és

 

Alkalmazások (Retkes-azonosságok) szerkesztés

A Retkes-egyenlőtlenség egyik legfontosabb alkalmazása a következő: legyen   és  . Ekkor az iterált integrálokra

 

Mivel   szigorúan konvex, ha  , szigorúan konkáv, ha  , valamint lineáris az   esetekben, így az alábbi egyenlőtlenségek, illetve azonosságok állnak fenn:

  •  
  •  
  •  
  •  

Az   esetből következik a Retkes-konvergenciakritérium, hiszen az azonosság jobb oldalán éppen a   sor n-edik részletösszege áll.Tegyük fel a továbbiakban, hogy  . Ekkor a második és negyedik azonosságban   helyett  -t helyettesítve kapunk két új algebrai azonosságot. Az így nyerhető négy azonosságot nevezzük Retkes-azonosságoknak, melyek a következők:

  •  
  •  
  •  
  •  

Források szerkesztés

  • Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
  • Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
  • Zoltán Retkes, "Applications of the extended Hermite–Hadamard inequality", Journal of Inequalitites in Pure and Applied Mathematics (JIPAM), Vol 7, issue 1, article 24, (2006)
  • Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.

További információk szerkesztés