Kúpkoordináták

A kúpkoordináták egy ortogonális háromdimenziós koordináta-rendszert alkotnak, melynek koordinátafelületei origó középpontú gömbök, illetve elliptikus kúpok két, egymásra merőleges családja. Egy kúp és egy gömb metszete gömbi kúpszelet. A kúpkoordináták a polárkoordináta-rendszer egyik térbeli általánosítása.

A kúpkoordináták koordinátafelületei. A bés cparaméterek értéke rendre 1, illetve 2. A piros gömb az r = 2 értékhez tartozik; a kék elliptikus kúp, melynek tengelye a z-tengely, az μ=cosh(1) értéket reprezentálja; illetve az x-tengelyű sárga elliptikus kúp megfelel a ν² = 2/3 értéknek. A három felület közös metszéspontja a P pont (fekete gömbként), aminek Descartes-koordinátái megközelítőleg (1,26; -0,78; 1,34). Az elliptikus kúpok a gömböt gömbi kúpszeletekben metszik

Alap definíciók

Legyenek egy pont Descartes-koordinátái $(x,y,z)$, és adva legyenek a $b,c$ paraméterek, ahol $0<b$ és $0<c.$ Ekkor az $(r,\mu ,\nu )$ kúpkoordináták definiálhatók, mint:

$x={\frac {r\mu \nu }{bc}}$

$y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

$z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}$

A koordinátákra ezeket a megkötéseket szokták tenni:

$\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.$

A konstans $r$-hez tartozó felületek origó középpontú gömbök:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$

míg a többi koordinátához tartozó koordinátafelületek végtelen elliptikus kúpok:

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0$

és

${\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.$

Ebben a koordináta-rendszerben Laplace egyenlete és a Helmholtz-egyenlet is szétválasztható.

Skálázási tényezők

Az $r$-hez tartozó skálázási tényező h_r = 1, mint a gömbkoordinátáknál. A többi koordináta skálázási tényezői:

$h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}$

és

$h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.$

Források

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 659. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 183–184. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 179. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 991–100. o. (1967) 
• Arfken G. Mathematical Methods for Physicists, 2nd, Orlando, FL: Academic Press, 118–119. o.. ASIN B000MBRNX4 (1970) 
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 37–40 (Table 1.09). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Conical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.