Gömbkoordináták

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.

Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták.[1][2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.

A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

KonvenciókSzerkesztés

DefinícióSzerkesztés

 
Egy   pont   gömbi koordinátái és a gömbkoordinátákkal együtt használt Descartes-koordináta-rendszer   tengelyei

Egy gömbi koordináta-rendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

  • egy   középpont, origó
  • egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
  • egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordináta-rendszert is használnak a gömbi koordináta-rendszerrel együtt. Ekkor:

  • annak origója a gömbi koordináta-rendszer origója
  • annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
  • annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

  •   a sugár, a pont origótól mért távolsága
  •   vagy  ,[3] polárszög vagy polártávolságszög,[4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög   és   közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
  •   vagy  ,[3] azimutszög,[4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága  -től  -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól  -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.

ÁtszámításokSzerkesztés

Minden   hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben:

 

Ezekbe az egyenletekbe bármely  ,   és   koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában:   nemnegatív,   értéke   illetve [0, 180°] eleme, és   a   illetve (−180°, 180°], vagy a   illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén   tetszőleges. Az origó számára   is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy  , és az origó esetén  .

A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben adott   koordinátáikból az   gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:[5]

 
 
 

Ezek az egyenletek felteszik, hogy   értéke és   és   közötti. Ha   értéke 0 és   közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.

Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.

AlkalmazásokSzerkesztés

A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.

Alternatív jelölésekSzerkesztés

A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a   és   jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.

A   nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke   és   közötti. Ha ezt   jelöli, akkor  . Ezzel szemben   minden további nélkül megfelel a   földrajzi hosszúságnak.

A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az

 
 
 

ábrázolás. Ebben az ábrázolásban   a földrajzi szélesség.

Egy   pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:

 
 ,

ahol  .

Differenciálok transzformációjaSzerkesztés

Jacobi-mátrixSzerkesztés

Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordináta-rendszerbe a következő mátrix írja le:

 

A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:

 

A transzformáció inverzét legegyszerűbben a   mátrix invertálásával számolhatjuk ki:

 

A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha   vagy  , tehát   vagy  . Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:

 

Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelemSzerkesztés

A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:

 

illetve

 .

A   térfogatelem egyszerűen számítható a

 

funkcionáldeterminánssal, azaz:

 .

A   differenciállal kapjuk egy   sugarú gömbön a   felszínelemet:

 .

A   vonalelem számítható, mint:

 

Metrika és forgatómátrixSzerkesztés

A   vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:

 

A metrikus tenzor nyilván a

 

diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint  , ahol   az

 

forgatómátrix.

Vektormezők és operátorok transzformációjaSzerkesztés

 
Egy pont gömbi koordinátái a helyfüggő   ortogonális bázissal

A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a  -tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.

A vektortérbázis transzformációjaSzerkesztés

A   koordinátához tartozó   bázisvektor adja meg egy  pont mozgásirányát, ha a   koordinátát a   infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:

 .

Ebből

 .

Ahhoz, hogy ortonormált bázist kapjunk, még le kell normálni az   vektort:

 .

Hasonlóan kapjuk az   és   bázisvektorokra:

 
 

Oszlopvektorba írva:

 

Ezek a bázisvektorok az   sorrendben jobbfogású rendszert alkotnak.

A fent bevezetett   forgatómátrixszal a transzformációk kompakt módon ábrázolhatók:

  .

Mivel   ortogonális, azért az inverz transzformáció mátrixa:

 .

Az egyes koordinátákhoz tartozó irányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a Hertz-dipólus esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a  -tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.

Vektormező transzformációjaSzerkesztés

Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordináta-rendszertől:

 

Ez úgy teljesül, hogy:

    illetve    .

A parciális deriváltak transzformációjaSzerkesztés

A parciális deriváltak szintén transzformálódnak, de normálás nélkül. A fentiekhez hasonlóan számolhatunk, de most kihagyjuk a   pontot a számlálóból, és a   Jacobi-mátrixot alkalmazzuk az   forgatómátrix helyett:

 ,

és az inverz transzformáció:

 .

A nabla-operátor transzformációjaSzerkesztés

A   nabla-operátor alakja egyszerű aDescartes-koordináta-rendszerben:

 .

A fent levezetett módon transzformálva az egységvektorokat és a parciális deriváltakat:

 .

Ebben a formában alkalmazható a transzformált nabla-operátor egy gömbkoordinátákkal adott skalármező gradiensének számítására.

Egy gömbi koordinátákkal adott A vektormező divergenciájának kiszámításához tekintetbe kell venni, hogy a   nemcsak az   együtthatókra, hanem az A-ban implicit jelenlevő   bázisvektorokra is:

 

Ugyanerre a rotáció számításánál is ügyelni kell:

 

A Laplace-operátor transzformációjaSzerkesztés

Ha az A vektormező divergenciaoperátorát behelyettesítjük a   gradiensoperátorba, akkor a Laplace-operátorhoz jutunk:

 .

illetve

 .

Általánosítás további dimenziókraSzerkesztés

A gömbi koordináták egy általánosítása   dimenzióra:

 

Belátható, hogy ez az   esetben a polárkoordinátákat és   esetén a gömbkoordinátákat adja.[6]

A szögek számítása:

 

Átszámozással rekurziós képletet kapunk a szögekre:

 

Ahonnan adódnak a következő szögek:

 

ahol   és

 

A sugár:

 

Az árkusz tangens miatt esetszétválasztás adódik a megfelelő Descartes-koordinátával bezárt szögre, ahol is a képleteket kiterjesztjük az   határértékekre is:

 

Innen látszik, hogy   mindig kétdimenziós vektor, ha  .

Jacobi-mátrixSzerkesztés

A gömbkoordináták Jacobi-mátrixa a fenti számozás szerint:

 

Determinánsa:

 

A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a  -függvény segítségével:

 

ami megfelel az  -dimenziós hipergömb térfogatának:

 

PéldákSzerkesztés

2D:

 

3D:

 

4D:

 

Egy részletes példaSzerkesztés

Az   esetben a   tengelyekkel:

 

Ekkor a szögek:

 

FunkcionáldeterminánsSzerkesztés

A gömbi koordináták transzformációjának Descartes-koordináta-rendszerbe:[6]

 

Ezzel az  -dimenziós térfogatelem:

 

JegyzetekSzerkesztés

  1. Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
  2. F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.
  3. a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
  4. a b Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.
  5. Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart.
  6. a b Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. Birkhäuser 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 205 (eingeschränkte Online-Kopie a Google Könyvekben-USA).

ForrásSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kugelkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.