k-szorosan összefüggő gráf

olyan gráf, melyben található út bármely két csúcs között még tetszőleges k‒1 csúcs elhagyása után is

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén G összefüggő gráfot akkor nevezünk k-szorosan összefüggő, k-összefüggő (vagy k-szorosan csúcsösszefüggő) gráfnak, ha több mint k csúcsa van, és kevesebb mint k csúcs eltávolítása után minden esetben összefüggő marad (minimális elvágó csúcshalmazának mérete k).

Egy gráf összefüggősége vagy csúcsösszefüggősége (jelölése: κ(G)) az a legnagyobb k szám, amire igaz, hogy a gráf k-szorosan csúcsösszefüggő. Konvenció szerint a Kn teljes gráf összefüggősége n − 1, az üres gráf összefüggősége pedig 0. Adott gráfban a csúcsösszefüggőség, az élösszefüggőség és a minimális fokszám között fennáll, hogy κ(G) ≤ κ’(G) ≤ δ(G).

DefiníciókSzerkesztés

 
Egy 4-összefüggő gráf.

Egy gráf, ha nem teljes gráf, összefüggősége akkor k, ha k a legkisebb olyan részhalmazának a mérete, amit letörölve a gráf szétesik.[1] A teljes gráfok nem szerepelnek ebben a definícióban, hiszen azok összefüggősége nem szüntethető meg csúcsok eltávolításával. Az n csúcsú teljes gráf n − 1-összefüggősége az első definícióból következtethető.

Ezzel ekvivalens meghatározás, hogy egy legalább két csúcsból álló gráf k-szorosan csúcsösszefüggő, ha bármely csúcspárjához található k db, a két csúcsot összekötő, csúcsfüggetlen (csúcsdiszjunkt) út; lásd Menger-tétel (Diestel 2005, p. 55). Ez a definíció szintén n − 1-et ad a Kn teljes gráf csúcsösszefüggőségére.[1]

Az 1-összefüggő gráf neve egyszerűen összefüggő gráf. A 2-összefüggő gráfok fontos szerepet játszanak a hálózati redundancia biztosításában.

AlkalmazásaiSzerkesztés

Poliéder-kombinatorikaSzerkesztés

Bármely k dimenziós konvex politóp 1-váza (politópgráfja) k-összefüggő gráfot alkot (Balinski-tétel, Balinski 1961). Ennek részleges megfordítottja, a Steinitz-tétel szerint bármely 3-összefüggő egyszerű síkgráf egy konvex poliéder vázát alkotja.

Általánosabban, a 3-sphere regular cellulation conjecture (3-gömb reguláris csempézési sejtés) (https://web.archive.org/web/20170109113224/http://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/SergioDeAgostino/DeAgostino2016.pdf) állítása szerint minden 2-összefüggő gráf a háromdimenziós gömbön található reguláris CW-komplexus 1-váza.

Számítási bonyolultságSzerkesztés

Egy bemeneti G gráf összefüggősége a következő módon számítható polinom időben:[2] vegyük az összes lehetséges nem szomszédos eltávolítandó   csúcspárokat, felhasználva Menger tételét tudjuk, hogy az  -hez tartozó minimális elvágó halmaz megegyezik a köztük lévő páronként csúcsdiszjunkt utakkal, kódoljuk a bemeneti gráfot oly módon, hogy minden csúcsot duplázzunk meg élként, hogy a problémát a páronként élfüggetlen utak kiszámítására redukáljuk, majd számítsuk ki az ilyen utak maximális számát az   és   közötti maximális folyam számításával, ha minden él kapacitása 1; vegyük észre, hogy a gráfban a   értékű folyam az egészértékűség elve miatt   db,   és   között húzódó, páronként éldiszjunkt útnak felel meg.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

FordításSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Schrijver, Combinatorial Optimization, Springer
  2. The algorithm design manual, p 506, and Computational discrete mathematics: combinatorics and graph theory with Mathematica, p. 290-291