k-szorosan összefüggő gráf

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén G összefüggő gráfot akkor nevezünk k-szorosan összefüggő, k-összefüggő (vagy k-szorosan csúcsösszefüggő) gráfnak, ha több mint k csúcsa van, és kevesebb mint k csúcs eltávolítása után minden esetben összefüggő marad (minimális elvágó csúcshalmazának mérete k).

Egy gráf összefüggősége vagy csúcsösszefüggősége (jelölése: κ(G)) az a legnagyobb k szám, amire igaz, hogy a gráf k-szorosan csúcsösszefüggő. Konvenció szerint a K_n teljes gráf összefüggősége n − 1, az üres gráf összefüggősége pedig 0. Adott gráfban a csúcsösszefüggőség, az élösszefüggőség és a minimális fokszám között fennáll, hogy κ(G) ≤ κ’(G) ≤ δ(G).

Definíciók

Egy 4-összefüggő gráf.

Egy gráf, ha nem teljes gráf, összefüggősége akkor k, ha k a legkisebb olyan részhalmazának a mérete, amit letörölve a gráf szétesik. A teljes gráfok nem szerepelnek ebben a definícióban, hiszen azok összefüggősége nem szüntethető meg csúcsok eltávolításával. Az n csúcsú teljes gráf n − 1-összefüggősége az első definícióból következtethető.

Ezzel ekvivalens meghatározás, hogy egy legalább két csúcsból álló gráf k-szorosan csúcsösszefüggő, ha bármely csúcspárjához található k db, a két csúcsot összekötő, csúcsfüggetlen (csúcsdiszjunkt) út; lásd Menger-tétel (Diestel 2005, p. 55). Ez a definíció szintén n − 1-et ad a K_n teljes gráf csúcsösszefüggőségére.

Az 1-összefüggő gráf neve egyszerűen összefüggő gráf. A 2-összefüggő gráfok fontos szerepet játszanak a hálózati redundancia biztosításában.

Alkalmazásai

Poliéder-kombinatorika

Bármely k dimenziós konvex politóp 1-váza (politópgráfja) k-összefüggő gráfot alkot (Balinski-tétel, Balinski 1961). Ennek részleges megfordítottja, a Steinitz-tétel szerint bármely 3-összefüggő egyszerű síkgráf egy konvex poliéder vázát alkotja.

Általánosabban, a 3-sphere regular cellulation conjecture (3-gömb reguláris csempézési sejtés) (https://web.archive.org/web/20170109113224/http://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/SergioDeAgostino/DeAgostino2016.pdf) állítása szerint minden 2-összefüggő gráf a háromdimenziós gömbön található reguláris CW-komplexus 1-váza.

Számítási bonyolultság

Egy bemeneti G gráf összefüggősége a következő módon számítható polinom időben: vegyük az összes lehetséges nem szomszédos eltávolítandó $(s,t)$ csúcspárokat, felhasználva Menger tételét tudjuk, hogy az $(s,t)$-hez tartozó minimális elvágó halmaz megegyezik a köztük lévő páronként csúcsdiszjunkt utakkal, kódoljuk a bemeneti gráfot oly módon, hogy minden csúcsot duplázzunk meg élként, hogy a problémát a páronként élfüggetlen utak kiszámítására redukáljuk, majd számítsuk ki az ilyen utak maximális számát az $s$ és $t$ közötti maximális folyam számításával, ha minden él kapacitása 1; vegyük észre, hogy a gráfban a $k$ értékű folyam az egészértékűség elve miatt $k$ db, $s$ és $t$ között húzódó, páronként éldiszjunkt útnak felel meg.

Kapcsolódó szócikkek

• k-szorosan élösszefüggő gráf
• Elvágó csúcshalmaz
• Menger-tétel
• Összefüggőség (gráfelmélet)
• Tutte-beágyazás

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a k-vertex-connected graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek

• Balinski, M. L. (1961), "On the graph structure of convex polyhedra in n-space", Pacific Journal of Mathematics 11 (2): 431–434, doi:10.2140/pjm.1961.11.431, <http://www.projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1103037323>.
• Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-26183-4, <http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/>.