Főmenü megnyitása

A kerekítés az a művelet, melynek eredménye egy kevésbé pontos számérték, aminek viszont olyan tulajdonságai vannak, amik az eredeti számnak nincsenek. Célja többféle lehet:

  • Becslés készítése, ekkor minden kerekítés felfelé vagy lefelé történik, felső illetve alsó becslés céljából
  • A látszólagos pontosság elkerülése céljából. Például a munkaügyi ügynökség a munkanélküliek számát 100-ban adja meg.
  • Egy fizikai mennyiség kerekítése a használt mértékegységhez. Például arányok átváltása egész számokra mandátumok kiosztásakor.

További indokok tizedestörtek esetén:

  • Könnyebb olvashatóság
  • Az ábrázolhatóság korlátai
  • A szám irracionális, pontos értéke nem használható.

Pozitív számoknál szoktak beszélni felfelé, illetve lefelé kerekítésről. Negatív számoknál nem mindig egyértelmű, hogy a szerző a szám előjeles értékét vagy abszolútértékét kerekíti. Emiatt beszélnek nullához, illetve nullától való kerekítésről is.

A kerekítés jele ≈, ami arra utalhat, hogy az utána álló szám kerekített. Először Alfred George Greenhill használta, 1892-ben.[1]

Kerekítési szabályokSzerkesztés

Kereskedői kerekítésSzerkesztés

Az iskolában tanított kereskedői kerekítés szabályai nemnegatív számok esetén:[2]

  • Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk.

Ezt a szabályt a DIN 1333 szabvány írja le. Példák:

  • 13,3749… € ≈ 13,37 €
  • 13,3750… € ≈ 13,38 €

Negatív számok esetén az abszolútértéket veszik figyelembe; tehát ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor a nullától kerekítenek, különben a nullához:

  • −13,3749… € ≈ −13,37 €
  • −13,3750… € ≈ −13,38 €

Szimmetrikus kerekítésSzerkesztés

A szimmetrikus kerekítés hasonló a kereskedői becsléshez.[3] Nevezik geodetikus, torzítatlan, matematikai, tudományos kerekítésnek is. Részletes szabályai:[4]

  • Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, és utána nem csupa nulla áll, akkor felfelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, és utána nullák állnak, akkor úgy kerekítünk, hogy a kapott szám utolsó jegye páros legyen.

Ezt a módszert használják a numerikus matematikában, a technikában és a mérnöki tudományokban, és az IEEE-754 szabvány rögzíti. Lebegőpontos számábrázolások kettes számrendszerbeli alakjában is ezt használják. Angol neve Round to Even vagy Banker’s Rounding.[5]

Példák:
  • 2,2499 ≈ 2,2
  • 2,2501 ≈ 2,3
  • 2,2500 ≈ 2,2
  • 2,3500 ≈ 2,4

Statisztikai szempontból a kereskedői becslés torzít, mivel a 0,5-et mindig csak felfelé kerekíti, lefelé soha. Szimmetrikus kerekítés esetén, ha az eloszlásban a kis és a nagy számok is ugyanolyan gyakoriak, a felfelé és a lefelé kerekítés ugyanolyan gyakori.

Összegtartó kerekítésSzerkesztés

Összegtartó kerekítés esetén egy összeg tagjait kerekítik úgy, hogy az összeg ugyanaz maradjon. Így előfordulhat, hogy egy számot nem a hozzá közelebbi, hanem a távolabbi érték felé kerekítik.

Fontos alkalmazások: annak megállapítása, hogy egy választás után egy pártnak hány mandátuma lesz, illetve a teljes áfa felosztása a tagok között.

Az eljárás feltételezi, hogy az összes tag pozitív, illetve azonos előjelű. Ha a tagok között pozitív és negatív számok is vannak, akkor a Hare-Niemeyer-eljárás általánosítható: Először minden számot a hozzá legközelebbi kerek számra kerekít. Ha ezzel az összeg túl nagy lesz, akkor megkeresi az abszolútértékben legnagyobb felkerekítést, és megváltoztatja a kerekítés irányát.

További kerekítésSzerkesztés

Hogyha további kerekítésre van szükség, akkor, ha ismert a kiindulásii szám, akkor célszerű azt kerekíteni, különben a kerekítés veszíthet pontosságából. Ez akkor következhet be, ha a kerekített szám utolsó jegye 5. Példa: Legyen az eredeti szám 13,374999747; az első kerekítés eredménye 13,3750.

  • Ismert kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,37.
  • Ismeretlen kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,38.

Tudományos munkákban, függvénytáblázatokban, logaritmustáblákban néha jelzik a kerekítések irányát. A felfelé kerekítést a kerekítéssel nyert jegy alá, illetve fölé húzott vonal, a lefelé kerekítést pont jelzi.

Példák:

  •   kerekítése  ; az újabb kerekítés eredménye  , ami lefelé kerekítés.
  •   kerekítése  ; az újabb kerekítés eredménye  , azaz  , tehát felfelé kerekítés. A következő kerekítés lefelé kerekítés lenne.

Ha nincsenek további jegyek, akkor a számot pontosnak tekintik.

SzámításokSzerkesztés

Kerekített számokkal való számolás után annyi tizedesjegyet kell meghagyni, amennyit a kerekítés megőrzött. Például, ha egy erőt 12,2 Newtonnak mértek, akkor a végeredménynek is három értékes jegyet kell tartalmaznia, különben hamis pontosság érzetét kelti.

FormalizálásSzerkesztés

A kerekítési szabályokat rendszerint úgy magyarázzák, hogy a gyerekek is megértsék. Bronstein-Szemengyajev könyvsorozatában, a Taschenbuchs der Mathematik Elementarmathematik kötetében a bonyolultabb kerekítési szabályokat is a magasabb matematika módszerei nélkül írják le.[6]

Véges és végtelen számjegysorozatokSzerkesztés

A szerzők bevezetik a formális számnevek fogalmát (nem tévesztendő össze a szófajjal),[6] melyen egy adott számrendszerbeli számjegysorozatot értenek. A pozitív   alakú tizedestörtek ( ) írhatók, mint

 

ahol a szám egészrésze a tizedesvessző előtti   jegy,[6] törtrésze pedig   tizedesvessző utáni jegy.   előáll a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számjegyekkel.

A többi valós szám tetszőlegesen pontosan közelíthető véges tizedestörtekkel. Egy   valós szám tizedestört alakba fejtésének együtthatói az

 

a   számjegyek végtelen sorozatát adják. Ahol   a tizedesjegyek alaki értéke,[7] és 0 alaki értéke  , 1 alaki értéke  , és így tovább. Az   közelítő értékekből álló sorozat felülről korlátos, mivel   jó felső korlát:

 

  tart a nullához, így   tart  -hez. Ha

 

az  -t ábrázoló számsorozata, akkor egy     ábrázoló számsorozatának   egy prefixe. Egy végtelen   prefixét informálisan kezdeti szakaszának nevezik.

Az  -ről és a  -ről tett kijelentések akkor is teljesülnek, hogyha   ábrázolható   tizedesjeggyel, azaz   Ekkor  esetén az   együtthatók és a   jegyek egyenlőek 0-val. Ez a módszer a kerekítési szabályok formalizálását is segíti.

Negatív számokra hasonlóak fogalmazhatók meg. Annyi változik, hogy a közelítő értékek sorozata csökken, felső korlát helyett alsó korlát van, és így tovább.

A fentiek más számrendszerben is levezethetők, az adott számrendszerben használatos jegyekkel. A mindennapokban használt tízes számrendszer mellett a kettes számrendszerbeli megfogalmazás lehet fontos, a számítógépek által végzendő kerekítések megvalósítására.

Az   írásmód formális rekurzióval definiálható, ahol a   jel a konkatenáció,   az üres szó jele:

 

LevágásSzerkesztés

A  -edik tizedesjegy utáni levágás után[8] azt a számot kapjuk az eredetileg   ismert jegyű   számból, melynek   tizedesjegye ismert, és  . Ez az eredeti szám prefixe. A   esetben az eredeti   számnak   jegyét határozzák meg, így a  -vel ábrázolt szám maga is közelítő érték. Azonban a matemaikai kerekítések számára legalább   pontossággal kellene a számot ismerni.

A levágás célja lehet a számítás segítése, vagy a túlzott pontosság elkerülése, amikor tudjuk, hogy a méréssel kapott   jegy közül csak   pontos.

Lefelé kerekítésSzerkesztés

Lefelé kerekítéskor pozitív számok esetén az eredetinél nem nagyobb számot kapunk, ami a legnagyobb az adott pontosságú számok közül, ami az eredetinél nem nagyobb. Ehhez a további tizedesjegyeket elhagyjuk, ami így a levágásra hasonlít. Az eredmény sosem lesz negatív, de ha a szám kicsi, és a kerekítés elég pontatlan, akkor az eredmény nulla lesz.

Speciálisan, ha egy pozitív tizedestörtet lefelé kerekítenek, egész pontossággal, akkor a kerekítés eredménye éppen az egészrész. Általánosabban, a lefelé kerekítés kifejezhető az egészrésszel, tízes számrendszerben:

 ,

ahol a kerekítés   tizedesjegy pontosságú.

Felfelé kerekítésSzerkesztés

Felfelé kerekítéskor az eredmény nem lesz kisebb, mint az eredeti szám; az az eredetinél nem kisebb szám, ami a legkisebb az adott pontosságú számok között. A további tizedesjegyek elhagyásán túl, amennyiben az elhagyott jegyek nem mind nullák, a megmaradt utolsó jegyet megnöveljük eggyel. Ha így átvitel keletkezik, azt végig kell futtatni a számon, így kapjuk a kerekített értéket.

Az egészrészhez hasonlóan használható a felső egészrész függvény az eredmény kifejezésére. Amennyiben   pozitív valós szám, és   tizedesjegyre kell kerekíteni a tízes számrendszerben, akkor:

 .

SzámítógépSzerkesztés

A számítógépben nem tárolhatók tetszőleges pontossággal a számok a memória korlátai miatt. Többnyire azonban elég ennél kisebb pontosság is, így gyakran kerül sor kerekítésre a számítások során, hogy az eredmény ábrázolható legyen az adott számtípussal.

A legegyszerűbb módszer a levágás: a pontosságból kilógó jegyeket egyszerűen elhagyja a gép. Például   kerekítése egészekre  . Ez egy gyors módszer, azonban viszonylag nagy kerekítési hibákat eredményez. Azonban a jelfeldolgozás éppen azt használja ki, hogy megakadályozza instabil határciklusok létrejöttét.

Használják a fent említett kereskedelmi kerekítést is. Ehhez például egészekre kerekítés esetén a levágás előtt hozzáadnak  -et a számhoz. Így például  , levágág után  . A kerekítés pozitív irányba torzít.

Az IEEE-754 szabvány a matematikai kerekítést írja le, tehát a legközelebbi párosra kerekítést kettes számrendszerben. Azaz, ha az eredmény   alakú, akkor a gép az utolsó 1-es helyett 0-t ír, majd az átvitellel felszalad a számon. Mivel rossz esetben az átvitel végigfut a teljes számon, azért ez a kerekítés lassú, és nagy számítási teljesítményt követel. Alternatív megoldásként táblázat is használható, ami leírja a kerekítést. Ebből keresi ki a gép a kerekítés eredményét.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics. World Scientific, Singapur 2016, ISBN 978-981-4730-35-8, S. 186.
  2. Kaufmännisches Runden – Was ist kaufmännisches Runden?
  3. Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www.math.uni-augsburg.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL (PDF; 118 kB) Universität Augsburg, C. Bescherer.
  4. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik
  5. How To Implement Custom Rounding Procedures – Article 196652, Microsoft Support (2004).
  6. a b c J. N. Bronstein, K. A. Semendjajew.szerk.: Verlag Harri Deutsch: Taschenbuch der Mathematik, 20 
  7. Bronstein/Semendjajew. Taschenbuch der Mathematik, 20 (1981) 
  8. Forráshivatkozás-hiba: Érvénytelen <ref> címke; nincs megadva szöveg a(z) BS20-2.1.1.2. nevű ref-eknek

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rundung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.