A kerekítés az a művelet, melynek eredménye egy kevésbé pontos számérték, aminek viszont olyan tulajdonságai vannak, amik az eredeti számnak nincsenek. Célja többféle lehet:

  • Becslés készítése, ekkor minden kerekítés felfelé vagy lefelé történik, felső illetve alsó becslés céljából
  • A látszólagos pontosság elkerülése céljából. Például a munkaügyi ügynökség a munkanélküliek számát 100-ban adja meg.
  • Egy fizikai mennyiség kerekítése a használt mértékegységhez. Például arányok átváltása egész számokra mandátumok kiosztásakor.

További indokok tizedestörtek esetén:

  • Könnyebb olvashatóság
  • Az ábrázolhatóság korlátai
  • A szám irracionális, pontos értéke nem használható.

Pozitív számoknál szoktak beszélni felfelé, illetve lefelé kerekítésről. Negatív számoknál nem mindig egyértelmű, hogy a szerző a szám előjeles értékét vagy abszolútértékét kerekíti. Emiatt beszélnek nullához, illetve nullától való kerekítésről is.

A kerekítés jele ≈, ami arra utalhat, hogy az utána álló szám kerekített. Először Alfred George Greenhill használta, 1892-ben.[1]

Kerekítési szabályokSzerkesztés

Kereskedői kerekítésSzerkesztés

Az iskolában tanított kereskedői kerekítés szabályai nemnegatív számok esetén:[2]

  • Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk.

Ezt a szabályt a DIN 1333 szabvány írja le. Példák:

  • 13,3749… € ≈ 13,37 €
  • 13,3750… € ≈ 13,38 €

Negatív számok esetén az abszolútértéket veszik figyelembe; tehát ha az első elhagyott jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor a nullától kerekítenek, különben a nullához:

  • −13,3749… € ≈ −13,37 €
  • −13,3750… € ≈ −13,38 €

Szimmetrikus kerekítésSzerkesztés

A szimmetrikus kerekítés hasonló a kereskedői becsléshez.[3] Nevezik geodetikus, torzítatlan, matematikai, tudományos kerekítésnek is. Részletes szabályai:[4]

  • Ha az első elhagyott jegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, és utána nem csupa nulla áll, akkor felfelé kerekítünk;
  • ha az első elhagyott jegy 5, és utána nullák állnak, akkor úgy kerekítünk, hogy a kapott szám utolsó jegye páros legyen.

Ezt a módszert használják a numerikus matematikában, a technikában és a mérnöki tudományokban, és az IEEE-754 szabvány rögzíti. Lebegőpontos számábrázolások kettes számrendszerbeli alakjában is ezt használják. Angol neve Round to Even vagy Banker’s Rounding.[5]

Példák:

  • 2,2499 ≈ 2,2
  • 2,2501 ≈ 2,3
  • 2,2500 ≈ 2,2
  • 2,3500 ≈ 2,4
  • 2,4600 ≈ 2,5

Statisztikai szempontból a kereskedői becslés torzít, mivel a 0,5-et mindig csak felfelé kerekíti, lefelé soha. Szimmetrikus kerekítés esetén, ha az eloszlásban a kis és a nagy számok is ugyanolyan gyakoriak, a felfelé és a lefelé kerekítés ugyanolyan gyakori.

Összegtartó kerekítésSzerkesztés

Összegtartó kerekítés esetén egy összeg tagjait kerekítik úgy, hogy az összeg ugyanaz maradjon. Így előfordulhat, hogy egy számot nem a hozzá közelebbi, hanem a távolabbi érték felé kerekítik.

Fontos alkalmazások: annak megállapítása, hogy egy választás után egy pártnak hány mandátuma lesz, illetve a teljes áfa felosztása a tagok között.

Az eljárás feltételezi, hogy az összes tag pozitív, illetve azonos előjelű. Ha a tagok között pozitív és negatív számok is vannak, akkor a Hare-Niemeyer-eljárás általánosítható: Először minden számot a hozzá legközelebbi kerek számra kerekít. Ha ezzel az összeg túl nagy lesz, akkor megkeresi az abszolútértékben legnagyobb felkerekítést, és megváltoztatja a kerekítés irányát.

További kerekítésSzerkesztés

Hogyha további kerekítésre van szükség, akkor, ha ismert a kiindulási szám, akkor célszerű azt kerekíteni, különben a kerekítés veszíthet pontosságából. Ez akkor következhet be, ha a kerekített szám utolsó jegye 5. Példa: Legyen az eredeti szám 13,374999747; az első kerekítés eredménye 13,3750.

  • Ismert kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,37.
  • Ismeretlen kiindulási szám esetén a kerekítés eredménye 13,38.

Tudományos munkákban, függvénytáblázatokban, logaritmustáblákban néha jelzik a kerekítések irányát. A felfelé kerekítést a kerekítéssel nyert jegy alá, illetve fölé húzott vonal, a lefelé kerekítést pont jelzi.

Példák:

  •   kerekítése  ; az újabb kerekítés eredménye  , ami lefelé kerekítés.
  •   kerekítése  ; az újabb kerekítés eredménye  , azaz  , tehát felfelé kerekítés. A következő kerekítés lefelé kerekítés lenne.

Ha nincsenek további jegyek, akkor a számot pontosnak tekintik.

SzámításokSzerkesztés

Kerekített számokkal való számolás után annyi tizedesjegyet kell meghagyni, amennyit a kerekítés megőrzött. Például, ha egy erőt 12,2 Newtonnak mértek, akkor a végeredménynek is három értékes jegyet kell tartalmaznia, különben hamis pontosság érzetét kelti.

FormalizálásSzerkesztés

A kerekítési szabályokat rendszerint úgy magyarázzák, hogy a gyerekek is megértsék. Bronstein-Szemengyajev könyvsorozatában, a Taschenbuchs der Mathematik Elementarmathematik kötetében a bonyolultabb kerekítési szabályokat is a magasabb matematika módszerei nélkül írják le.[6]

Véges és végtelen számjegysorozatokSzerkesztés

A szerzők bevezetik a formális számnevek fogalmát (nem tévesztendő össze a szófajjal),[6] melyen egy adott számrendszerbeli számjegysorozatot értenek. A pozitív   alakú tizedestörtek ( ) írhatók, mint

 

ahol a szám egészrésze a tizedesvessző előtti   jegy,[6] törtrésze pedig   tizedesvessző utáni jegy.   előáll a {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} számjegyekkel.

A többi valós szám tetszőlegesen pontosan közelíthető véges tizedestörtekkel. Egy   valós szám tizedestört alakba fejtésének együtthatói az

 

a   számjegyek végtelen sorozatát adják. Ahol   a tizedesjegyek alaki értéke,[7] és 0 alaki értéke  , 1 alaki értéke  , és így tovább. Az   közelítő értékekből álló sorozat felülről korlátos, mivel   jó felső korlát:

 

  tart a nullához, így   tart  -hez. Ha

 

az  -t ábrázoló számsorozata, akkor egy     ábrázoló számsorozatának   egy prefixe. Egy végtelen   prefixét informálisan kezdeti szakaszának nevezik.

Az  -ről és a  -ről tett kijelentések akkor is teljesülnek, hogyha   ábrázolható   tizedesjeggyel, azaz   Ekkor  esetén az   együtthatók és a   jegyek egyenlőek 0-val. Ez a módszer a kerekítési szabályok formalizálását is segíti.

Negatív számokra hasonlóak fogalmazhatók meg. Annyi változik, hogy a közelítő értékek sorozata csökken, felső korlát helyett alsó korlát van, és így tovább.

A fentiek más számrendszerben is levezethetők, az adott számrendszerben használatos jegyekkel. A mindennapokban használt tízes számrendszer mellett a kettes számrendszerbeli megfogalmazás lehet fontos, a számítógépek által végzendő kerekítések megvalósítására.

Az   írásmód formális rekurzióval definiálható, ahol a   jel a konkatenáció,   az üres szó jele:

 

LevágásSzerkesztés

A  -edik tizedesjegy utáni levágás után[8] azt a számot kapjuk az eredetileg   ismert jegyű   számból, melynek   tizedesjegye ismert, és  . Ez az eredeti szám prefixe. A   esetben az eredeti   számnak   jegyét határozzák meg, így a  -vel ábrázolt szám maga is közelítő érték. Azonban a matemaikai kerekítések számára legalább   pontossággal kellene a számot ismerni.

A levágás célja lehet a számítás segítése, vagy a túlzott pontosság elkerülése, amikor tudjuk, hogy a méréssel kapott   jegy közül csak   pontos.

Lefelé kerekítésSzerkesztés

Lefelé kerekítéskor pozitív számok esetén az eredetinél nem nagyobb számot kapunk, ami a legnagyobb az adott pontosságú számok közül, ami az eredetinél nem nagyobb. Ehhez a további tizedesjegyeket elhagyjuk, ami így a levágásra hasonlít. Az eredmény sosem lesz negatív, de ha a szám kicsi, és a kerekítés elég pontatlan, akkor az eredmény nulla lesz.

Speciálisan, ha egy pozitív tizedestörtet lefelé kerekítenek, egész pontossággal, akkor a kerekítés eredménye éppen az egészrész. Általánosabban, a lefelé kerekítés kifejezhető az egészrésszel, tízes számrendszerben:

 ,

ahol a kerekítés   tizedesjegy pontosságú.

Felfelé kerekítésSzerkesztés

Felfelé kerekítéskor az eredmény nem lesz kisebb, mint az eredeti szám; az az eredetinél nem kisebb szám, ami a legkisebb az adott pontosságú számok között. A további tizedesjegyek elhagyásán túl, amennyiben az elhagyott jegyek nem mind nullák, a megmaradt utolsó jegyet megnöveljük eggyel. Ha így átvitel keletkezik, azt végig kell futtatni a számon, így kapjuk a kerekített értéket.

Az egészrészhez hasonlóan használható a felső egészrész függvény az eredmény kifejezésére. Amennyiben   pozitív valós szám, és   tizedesjegyre kell kerekíteni a tízes számrendszerben, akkor:

 .

SzámítógépSzerkesztés

A számítógépben nem tárolhatók tetszőleges pontossággal a számok a memória korlátai miatt. Többnyire azonban elég ennél kisebb pontosság is, így gyakran kerül sor kerekítésre a számítások során, hogy az eredmény ábrázolható legyen az adott számtípussal.

A legegyszerűbb módszer a levágás: a pontosságból kilógó jegyeket egyszerűen elhagyja a gép. Például   kerekítése egészekre  . Ez egy gyors módszer, azonban viszonylag nagy kerekítési hibákat eredményez. Azonban a jelfeldolgozás éppen azt használja ki, hogy megakadályozza instabil határciklusok létrejöttét.

Használják a fent említett kereskedelmi kerekítést is. Ehhez például egészekre kerekítés esetén a levágás előtt hozzáadnak  -et a számhoz. Így például  , levágág után  . A kerekítés pozitív irányba torzít.

Az IEEE-754 szabvány a matematikai kerekítést írja le, tehát a legközelebbi párosra kerekítést kettes számrendszerben. Azaz, ha az eredmény   alakú, akkor a gép az utolsó 1-es helyett 0-t ír, majd az átvitellel felszalad a számon. Mivel rossz esetben az átvitel végigfut a teljes számon, azért ez a kerekítés lassú, és nagy számítási teljesítményt követel. Alternatív megoldásként táblázat is használható, ami leírja a kerekítést. Ebből keresi ki a gép a kerekítés eredményét.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics. World Scientific, Singapur 2016, ISBN 978-981-4730-35-8, S. 186.
  2. Kaufmännisches Runden – Was ist kaufmännisches Runden?
  3. 'Didaktik der Zahlbereiche'. [2015. február 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. augusztus 1.) (PDF; 118 kB) Universität Augsburg, C. Bescherer.
  4. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik
  5. How To Implement Custom Rounding Procedures – Article 196652, Microsoft Support (2004).
  6. a b c J. N. Bronstein, K. A. Semendjajew.szerk.: Günter Grosche, Viktor Ziegler: Abschnitt 2.1. „Elementare Näherungsrechnung“ (bearbeitet von G. Grosche), Abschnitt 2.1.1., Taschenbuch der Mathematik, 20, Thun und Frankfurt/Main: Verlag Harri Deutsch (1981) 
  7. Bronstein, Semendjajew. Abschnitt 2.1.1.1. „Zahlendarstellung im Positionssystem“, Taschenbuch der Mathematik, 20, 149. o. (1981) 
  8. Bronstein, Semendjajew. Abschnitt 2.1.1.2. „Abbruchfehler und Rundungsregeln“, Taschenbuch der Mathematik, 20, 150. o. (1981) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rundung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.