Kis elemszámú véges csoportok listája

Wikimédia-listaszócikk

A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

JelölésekSzerkesztés

A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve

  • 1 jelöli a csoport egységelemét
  • Tetszőleges pozitív egész n-re   jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
  • Tetszőleges   egész számra   jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
  • Tetszőleges pozitív egész n-re   jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és   jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
  •   jelöli a Klein-csoportot;   jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tényekSzerkesztés

A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoportSzerkesztés

Tetszőleges n-re   az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport vanSzerkesztés

Ha ugyanis   p elemű csoport és   és  , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így  , azaz  .

Kis elemszámú véges csoportokSzerkesztés

Egyelemű csoportSzerkesztés

Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoportSzerkesztés

Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a  .

Háromelemű csoportSzerkesztés

Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a  .

Négyelemű csoportSzerkesztés

Négyelemű csoportból kettő létezik:   és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha   négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a  . Ha nincs, akkor   mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt   izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoportSzerkesztés

Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a  .

Hatelemű csoportSzerkesztés

A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a   ciklikus csoport és az   szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoportSzerkesztés

Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a  .

Nyolcelemű csoportSzerkesztés

A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a   csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg   kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Kilencelemű csoportSzerkesztés

Tízelemű csoportSzerkesztés

Tizenegy elemű csoportSzerkesztés

Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a  .

Tizenkét elemű csoportSzerkesztés

Tizenhárom elemű csoportSzerkesztés

Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a  .

Tizennégy elemű csoportSzerkesztés

Tizenöt elemű csoportSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés