Kvaterniócsoport

Kvaterniócsoportnak nevezzük (és rendszerint Q₈-cal jelöljük) azt a nyolcelemű csoportot, amelyet az alábbi generátorok és definiáló relációk határoznak meg:

$\langle i,j,k\mid i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk\rangle$

Az egységelemet szokás szerint $1$ jelöli, $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk$ szokásos jelölése $-1$, és az $i^{3},j^{3},k^{3}$ elemeket rendre a $-i,-j,-k$ szimbólumokkal jelöljük. (A kvaterniócsoportban nincs definiálva az összeadás, tehát a mínuszjelek itt nem az ellentettképzést jelölik, csak puszta szimbólumok. Azonban a csoport beágyazható a kvaterniók algebrájába (Q₈ a négy bázis-egységvektor által generált szorzáscsoport), és itt a mínuszjeles elemek éppen egybeesnek a bázis-egységvektorok ellentettjeivel.

A kvaterniócsoport tehát olyan nyolcelemű csoport, amelyet az $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$ elemek alkotnak, ahol 1 az egységelem, $(-1)^{2}=1$ és az összes többi elem a $-1$ négyzetgyöke. $(-1)i=-i,(-1)j=-j,(-1)k=-k$, továbbá $ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j$. Nem kommutatív.

A kvaterniócsoportot William Rowan Hamilton fedezte fel a 19. században.

Cayley-táblázat

A kvaterniócsoport szorzótáblája a következő:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Tekintve, hogy a kvaterniócsoport nem kommutatív, lényeges, hogy a fenti táblázatban a bal szélső oszlopban lévő elemmel szorzunk balról, és a legfelső sorban lévő elemmel szorzunk jobbról.

Alapvető tulajdonságok

A kvaterniócsoport

• nem kommutatív ($ij=k,ji=-k)$;
• centruma az {1, -1} kételemű csoport;
• feloldható (a négyelemű részcsoportok normálisak és ciklikusak, így maguk is feloldhatók);
• metaciklikus ($\mathbb {Z} _{4}$-nek $\mathbb {Z} _{2}$-vel való bővítése);
• Frattini-részcsoportja $\mathbb {Z} _{2}$;
• Fibonacci-csoport;
• karaktertáblázata megegyezik a nyolcelemű diédercsoport karaktertáblájával.

Analógia a vektoriális szorzattal

A háromdimenziós euklideszi tér bázis-egységvektorait a szokásos módon i-vel, j-vel és k-val jelölve, ezek vektoriális szorzása analóg módon viselkedik a kvaterniócsoportban érvényes szorzási szabályokkal:

${\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}$

Források

• Vipul Naik: Quaternion group. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 1.)