Klein-féle palack

a matematikai topológia egyik fogalma
(Klein-palack szócikkből átirányítva)
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. január 21.

A Klein-féle palack vagy Klein-kancsó a matematikai topológia egyik fogalma, egy kétdimenziós, egyoldalú (vagyis nem irányítható) felület, amit önmagába forduló ívelt kúpként lehet elképzelni. A palacknak a belseje egyben a külseje is, tehát ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk festeni az egészet. Nevét Felix Klein (1849–1925) német matematikusról kapta.

A Klein-féle palack
Egy üvegből készült Klein-féle kancsó

A Klein-kancsó szemléletes leírása

szerkesztés

Szemléletes leírással jól elképzelhetővé tehetjük a rajzon is látható Klein kancsót. A Klein kancsó felülete egy a tetején kiöblösödő, de lefelé haladva fokozatosan elvékonyodó cső, (szemléletesen egy lopótök alakú kancsó), melynek alsó, elvékonyodó szára visszakanyarodik, fogantyút alkot, majd áthatol a vastag csőszakasz falán, és belülről csatlakozik a cső szélesebb (a „lopótök” belső) „tetejéhez”.

Érdekességek

szerkesztés
 
A Klein-féle kancsó két tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával létrehozva, melyeken kettős-fríz mintázat látható.
  • A Klein-kancsó előállítható két, tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával.
  • A Klein-kancsó felületére kettős-fríz mintázatok helyezhetők, melyek érdekesen transzformálódnak a két Möbius-szalaggá való szétválasztáskor.
  • A Klein-kancsó önátmetszés nélkül nem ágyazható be a háromdimenziós térbe. Ehhez legalább négy dimenzió kell.
  • A Klein-kancsó kétdimenziós, zárt sokaság, ami azt jelenti, hogy kompakt felület, és nincs határa.
  • Differenciálható sokaság, azaz leírható differenciálható függvényekkel.
  • Ha egy gömbön kivágunk két lyukat, és a lyukak határát egy-egy Möbius-szalag határával azonosítjuk, akkor Klein-palackot kapunk.
  • A Klein-kancsóra rajzolt bármely térkép kiszínezhető legfeljebb hat szín felhasználásával. Ez az egyetlen kivétel a Heawood-sejtés alól, ami a négyszíntétel általánosításaként összefüggést állít a felhasználandó színek száma és az adott felület nemszáma között. A sejtés szerint a színek számának hétnek kell lennie.

A Klein-palack például a következőképpen írható le képletekkel:

 

ahol   és   esetén:

 
 
 

és  -re meg  -re:

 
 
 

Az a és a b konstansok a palack méretét és arányait határozzák meg.

Topológia

szerkesztés

A Klein-palack a következőképpen konstruálható:

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk az éleket úgy, ahogy az ábra mutatja: az azonos színűeket azonosítjuk a nyilaknak megfelelő irányok szerint. Formálisan, a Klein-palack megkapható az [0,1] × [0,1] négyzetből a (0,y) ~ (1,y), 0 ≤ y ≤ 1 és az (x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤ x ≤ 1 relációk szerinti ragasztással. Ezt úgy is mondjuk, hogy a négyzet a Klein-palack fundamentális poligonja.

A Klein-palack topológiai értelemben nem metszi át magát, mégsem ágyazható be a háromdimenziós térbe önátmetszés nélkül. Ekkor a következőképpen képzelhető el: egy hosszú téglalap hosszabb oldalait összeragasztjuk úgy, ahogy a piros nyilak mutatják. Ezután a cső egyik végét átdugjuk a cső falán, és belülről ragasztjuk a cső másik végéhez. Az így készült Klein-palackon lehet egy törés ott, ahol a két véget összeragasztottuk, azonban valójában sehol sincs törés. Ez a Klein-palack immerziója a háromdimenziós térbe. A háromdimenziós immerzió lehetővé teszi, hogy láttassuk a Klein-palack tulajdonságait: nincs határa, ahol hirtelen véget érne, egy oldalú és nem irányítható.

A valóságban is hasonló módon készítenek Klein-palackokat üvegből.

Négy dimenzióban az önátmetszés kiküszöbölhető úgy, hogy a háromdimenziós immerzióban kapott képben kihúzzuk az önátmetszés környékét a negyedik dimenzió irányába. Koordinátákkal ez úgy valósítható meg, hogy a háromdimenziós Klein-palackot a nulla negyedik koordinátájú altérbe képezzük le, és az önátmetszés környékén folytonosan megnöveljük a negyedik koordinátát úgy, hogy ott legyen a legnagyobb, ahol az önátmetszés lenne.

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés