Főmenü megnyitása

Egy dinamikai rendszer Lagrange-függvénye (L) olyan függvény, amely összegzi a rendszer dinamikáját. Joseph Louis Lagrange után kapta a nevét, s magának a függvénynek a bevezetése William Rowan Hamilton ír matematikus nevéhez fűződik. Klasszikus mechanikában a Lagrange-függvény úgy van meghatározva, mint a mozgási energia, , mínusz a potenciális energia .[1]

Matematikailag:

Ha ismerjük egy rendszer Lagrange-függvényét, akkor a mozgásegyenletek megkaphatók, ha behelyettesítjük a Lagrange-függvényt az Euler–Lagrange-egyenletbe.

A Lagrange-formalizmusSzerkesztés

FontosságSzerkesztés

A Lagrange-formalizmus nemcsak a széles alkalmazhatósága miatt fontos, hanem azért is, mert általa jobban megismerhetjük a fizikát. Annak ellenére, hogy a Lagrange-függvény csak a klasszikus mechanikát hivatott leírni, a legkisebb hatás elvével, amit arra használunk, hogy felírjuk a Lagrange-egyenletet, alkalmazhatóvá vált a kvantummechanikában is.

Más módszerekkel szembeni előnyökSzerkesztés

  • Ebben a formalizmusban nem vagyunk egyik koordinátarendszerhez sem láncolva, hanem bármelyik nekünk előnyös   változót használhatunk a rendszer leírására, amelyeket általános koordinátáknak nevezzük, s ezek a rendszernek bármilyen független változói lehetnek. Például a mágneses tér erőssége egy pontban, egy pont helyzete a térben, stb.
  • Ha a Lagrange-függvény invariáns bizonyos szimmetriára, akkor a keletkező mozgásegyenletek is invariánsak lesznek az illető szimmetriára.
  • A Lagrange-függvényből származtatott egyenletek egyértelműek és nem önellentmondóak.

"Ciklikus koordináták" és megmaradási tételekSzerkesztés

Az egyik fontos tulajdonsága a Lagrange-függvénynek, az az, hogy a megmaradási tételek könnyen kiolvashatók belőle. Például ha a Lagrange-függvény   csak az egyik általános koordináta idő szerinti deriválttól függ   de nem függ magától az általános koordinátától, akkor az általánosított impulzus,

 ,

egy megmaradó mennyiség. Ez egy speciális esete a Noether-tételnek, s az ilyen koordinátákat ciklikusaknak nevezzük.

Például az alábbi általánosított impulzus,

 ,

megmaradása azonnal belátható, ha a rendszer Lagrange-függvénye a következő alakú:

 

Amennyiben a Lagrange függvény,  , nem függ expliciten az időtől, akkor a rendszer energiája lesz egy megmaradó mennyiség.

Euler–Lagrange-egyenletSzerkesztés

A mechanikai rendszerek mozgásegyenleteit legáltalánosabban a legkisebb hatás elvével adhatjuk meg. Vagyis, ha egy adott mechanikai rendszert egy adott

 

függvény jellemez, a rövidség kedvéért jelöljük csak  -nek, s a rendszer helyzetét a   és   időpillanatokban a   és   koordináták jellemzik, akkor a két helyzet között úgy fog mozogni a rendszer, hogy az

 

minimális legyen, ahol az   integrált hatásfüggvénynek nevezzük.

Legyen   az a függvény, amelyre a hatásfüggvény (a fenti integrál) minimális. Ekkor ha   függvényt helyettesítjük bármely   függvénnyel, ahol a   egy tetszőleges függvény, amely   és   között kis értékeket vesz fel (matematikailag a   variációjának nevezzük), az az   növekedéséhez vezet. Minden   függvénynek a   és   időpillanatokban ugyanazt a   és   értéket kell felvennie, s ez csak akkor lehetséges, ha

 

Ha a hatásfüggvényben a  -t helyettesítjük  -val, akkor az   változását a

 

különbség fogja megadni. Ha ezt sorbafejtjük és csak az elsőrendű tagokat vesszük figyelembe (ezt az integrál első variációjának nevezzük), akkor az   extrémumának szükséges feltétele az, hogy ezeknek a tagoknak az összege 0 legyen, s akkor a legkisebb hatás elvét a következő alakban írhatjuk fel:

 

Ha végrehajtjuk a variációt, akkor a következő alakhoz jutunk:

 

Behelyettesítve, hogy  , valamint a második tagot parciálisan integrálva, és figyelembe véve, hogy  , a következő kifejezést kapjuk:

 ,

ami csak akkor lehetséges, ha az integrandus nulla, tetszőleges   értékek mellett, s ez csak akkor lehetséges, ha

 .

A fenti egyenletet nevezzük az Euler–Lagrange-egyenletnek, s ha ismerjük egy adott rendszer Lagrange-függvényét, akkor behelyettesítve a fenti egyenletbe, s elvégezve a deriválásokat megkapjuk az adott rendszer mozgásegyenleteit.

Példa klasszikus mechanikábólSzerkesztés

Derékszögű koordinátarendszerbenSzerkesztés

Ha háromdimenziós térben vagyunk, akkor egy anyagi pont Lagrange-függvénye a következő:

 .

Az Euler–Lagrange-egyenlet a következő alakú lesz:

 

ahol  .

A deriválások elvégzése után a következőket kapjuk:

 
 
 


Polár koordinátarendszerbenSzerkesztés

Ha polár koordinátarendszeben dolgozunk, akkor az anyagi pont Lagrange-függvénye a következő lesz:

 

S az Euler–Lagrange-egyenletek az alábbiak lesznek:

 
 
 


HivatkozásokSzerkesztés

  1. Torby, Bruce. Energy Methods, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing (1984). ISBN 0-03-063366-4 

További információkSzerkesztés