Lemniszkáta

A lemniszkáta egy speciális Cassini-görbe. A Cassini-görbék a sík olyan pontjainak mértani helyei, melyekre igaz, hogy két adott ponttól való távolságának szorzata állandó. Azt a Cassini-görbét nevezzük lemniszkátának, amelyiken rajta van a két adott pontot összekötő szakasz felezőpontja. A lemniszkáta egy 8 (vagy $\infty$) alakú, negyedrendű síkgörbe.

A lemniszkáta.

Lemniszkáta szerkesztése. Az ábrán látható háromtagú csuklós mechanizmus középső rúdjának felezőpontja a mechanizmus mozgatása során lemniszkátát ír le.

Egyenletei

Az ábra jelöléseivel derékszögű koordináta-rendszerben:

${\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}-2c^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)=0$

Polárkoordinátákkal:

$\rho =c{\sqrt {2\cos {2\varphi }}}$

ahol

$\varphi \in \langle -{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{4}}\rangle \cup \langle {\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\rangle$.

Paraméteres egyenletrendszere:

$x=ct{\sqrt {2}}{\frac {1+t^{2}}{1+t^{4}}}$

$y=ct{\sqrt {2}}{\frac {1-t^{2}}{1+t^{4}}}$

ahol $t\in \mathbb {R}$.

Tulajdonságai

A görbe polárkoordinátákkal megadott egyenleteihez tartozó görbületi sugár:

$R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}={\frac {c{\sqrt {1+t^{4}}}}{3|t|}}$

feltéve, hogy $\rho \neq 0$, illetve $t\neq 0$. A lemniszkáta egyes hurkainak területe:

$T=c^{2}\,$,

Kerülete:

$k\approx 2c\cdot 1,8541\,$.

Ha az

$x^{2}-y^{2}=c^{2}\,$

hiperbolát az

$x^{2}+y^{2}=c^{2}\,$

körön tükrözzük, lemniszkátát kapunk.

Források

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.