Cassini-görbe

Cassini-görbe azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, melyek a sík egy $q_{1}\,$ és $q_{2}\,$ pontjától mért távolságának szorzata állandó. A $q_{1}\,$ és $q_{2}\,$ pontokat a Cassini-görbe fókuszainak nevezik.

Néhány Cassini-görbe. A fókuszpontok (-1, 0) és (1, 0). A görbéken a b² értéke van feltüntetve.

A Cassini-görbék Giovanni Domenico Cassini csillagászról kapták nevüket, aki úgy vélte, hogy a bolygók ilyen pályán keringenek a Nap körül.

Ha egy derékszögű koordináta-rendszert úgy veszünk fel, hogy a $q_{1}\,$ pont koordinátái $(a,0)\,$, és a $q_{2}\,$ pont koordinátái $(-a,0)\,$, akkor a görbék pontjai kielégítik az alábbi egyenletet:

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}\,$.

Más alakban:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}\,$,

illetve

$(x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}\,$.

A görbék polárkoordinátás egyenlete:

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}\,$

Alakja

A görbék alakja a $c={\frac {b}{a}}$ viszonytól függ.

• $c>{\sqrt {2}}\,$ esetén ovális alakú zárt görbe
• ${\sqrt {2}}>c>1\,$ esetén egyetlen folytonos, zárt görbe, melynek négy inflexiós pontja van.
• $c=1\,$ esetén a görbe Bernoulli-féle lemniszkáta lesz.
• $c<1\,$ esetén a diagram két független görbére esik szét.
• $c=0,\ (a\neq 0)$ esetén a Cassini-görbe a két fókuszponttá fajul.

Tulajdonságai

Fekete kör: a maximumok és minimumok mértani helye; kék lemniszkáta: az inflexiós pontok mértani helye.

• A Cassini-görbék negyedrendű síkbeli algebrai görbék.
• Két szimmetriatengelye van: az egyik a két fókuszponton átmenő egyenes, a másik a két fókuszpont távolságát megfelező, az előzőre merőleges egyenes.
• $0<c\leq {\sqrt {2}}$ esetén két abszolút maximummal és két abszolút minimummal rendelkeznek:

${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4a^{4}-b^{4}}}{2a}}\\y=\pm {\frac {b^{2}}{2a}}\end{cases}}$

• $1<c\leq {\sqrt {2}}$ esetén a görbék négy inflexiós ponttal rendelkeznek, polárkoordinátás alakjuk:

${\begin{cases}r={\sqrt[{4}]{\frac {b^{4}-a^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {b^{4}}{a^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}$

Az inflexiós pontok mértani helye lemniszkáta, $\left(0;\pm a\right)$ csúcspontokkal.

• A görbületi sugár polárkoordinátákkal kifejezve:

$R={\frac {b^{2}r}{r^{2}+a^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2b^{2}r^{3}}{a^{4}-b^{4}+3r^{4}}}$

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091

Külső hivatkozások

• Kempelen Farkas digitális tankönyvtár
• História - tudósnaptár: Cassini
• Weisstein, Eric W.: Cassini Ovals (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• 2Dcurves.com 2D görbék (angol)