Maass-formák

A matematikában a Maass-forma vagy Maass-hullámforma egy, a komplex számok felső félsíkján értelmezett függvény, ami moduláris formaként transzformálódik. Elsőként Hans Maass tanulmányozta őket.(Maass 1949)

Definíció

Legyen k félegész szám, s komplex szám, és Γ SL₂(R) diszkrét részcsoportja. A Γ k súlyú Maass-formája az s Laplace-sajátértékkel egy, a komplex számok felső félsíkjáról a komplex számokba képező függvény, amire a következők teljesülnek:

• Minden $\gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma$-ra, és minden $\tau \in \mathbb {H}$-ra $f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )$.
• $\Delta _{k}f=sf$, ahol $\Delta _{k}$ a k súlyú hiperbolikus Laplace-szerűen definiált $\Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)$.
• Az f függvény legfeljebb polinomiálisan nő a belső csúcsokban.

A gyenge Maass-forma hasonlóan definiálható, de a harmadik pont helyett a következő teljesül: Az f függvény a belső csúcsokban legfeljebb lineáris exponenciálisan nő. Továbbá f harmonikus, ha a Laplace-operátor megsemmisíti.

Források

• Bump, Daniel (1997), Automorphic forms and representations, vol. 55, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55098-7
• Maass, Hans (1949), "Über eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen 121: 141–183, DOI 10.1007/BF01329622
• K. Bringmann, A. Folsom, Almost harmonic Maass forms and Kac–Wakimoto characters, Crelle's Journal, Volume 2014, Issue 694, Pages 179–202 (2013). DOI: 10.1515/crelle-2012-0102
• W. Duke, J. B. Friedlander and H. Iwaniec, The subconvexity problem for Artin L-Functions’', Inventiones Mathematicae, 149, pp. 489–577 (2002). Section 4. DOI: 10.1007/BF01329622.
• Harcos Gergely: Mi is ... egy Maass-forma? (magyar nyelven). Érintő (Bolyai János Matematikai Társulat), 2017. március 1.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Maass wave form című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.