Matematikai inga

A matematikai inga egy elhanyagolható tömegű hosszúságú fonalra függesztett, tömegű pontszerű testből áll, amelyre szabad erőként csak a nehézségi erő hat. Az egyensúlyi helyzetéből kitérített inga csillapítatlan periodikus mozgást végez. Ennek az idealizált modellnek a gyakorlati megvalósítása egy vékony fonálra felfüggesztett fémgolyó (egy fonálinga), ami az egyensúlyi helyzetéből kitérítve, függőleges síkban egy körív mentén a két szélső helyzet között közelítőleg csillapítatlanul leng.[1]

Inga
Matematikai inga
A matematikai inga lengése. A kék vektor jelzi a pillanatnyi sebességet, a piros vektor a pillanatnyi gyorsulást, pedig a kitérés szögét.

A mozgás egyenleteiSzerkesztés

A matematikai inga mozgását a dinamika alapegyenletéből lehet meghatározni. A nehézségi erőn kívül hat még a fonálban ébredő erő (F), ami mindig a fonál irányában hat, azaz a mozgás során mindig sugárirányú. Ez a fonálerő és a nehézségi erőnek a sugárirányú komponense hozza létre a körpályán való mozgáshoz a centripetális erőt. Erre a következőt írhatjuk fel:

 ,

ahol:   a fonálban ébredő erő,   a test tömege,   a földi nehézségi gyorsulás,   a fonál függőlegessel bezárt szöge,   a fonál hossza,   a lengést végző tömegpont pillanatnyi sebessége.

A fonálban ébredő kényszererő nagysága a mozgás során tehát változik. Legnagyobb az értéke a pálya legalsó pontján, amikor a fonál függőleges, és a sebesség a legnagyobb. A szélső helyzetben a legkisebb.

A nehézségi erő érintő irányú komponense a körpálya menti gyorsulást hozza létre, és így meghatározza az inga helyzetét, a fonál függőlegessel bezárt szögét az idő függvényében. Erre a következőt írhatjuk fel:

 ,

ahol   az érintő (tangenciális) irányú gyorsulás.

A tangenciális gyorsulás és a szöggyorsulás ( ) kapcsolata:

 .

A szöggyorsulás a szögkitérés második deriváltja:

 .

Így a szögkitérésre a következő másodrendű differenciálegyenletet kapjuk:

 .

A tömeggel egyszerűsítve, átrendezés után:

 .

Kis kitérések esetén a szinuszfüggvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

 .

Ezt a közelítést alkalmazva kapjuk:

 .

Bevezetve a következő jelölést:

 ,

az egyenlet a következő alakra hozható:  .

Ez az egyenlet a harmonikus rezgőmozgást végző test mozgásegyenlete. A matematikai inga mozgása tehát kis kitéréseknél   körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető. A lengés periódusideje:

 .

Az inga helyzetét leíró időfüggvény, a szögkitérés az időfüggvényében a következő alakú:

 ,

ahol   a szögelfordulás amplitúdója (a legszélső helyzethez tartozó szög) és   a kezdőfázis (a kezdeti nulla időponthoz tartozó helyzetet jellemző szögkitérés). A   szögre kitérített, majd magára hagyott inga esetében  , és így  

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő (1%-os relatív hiba alatti), ha a kilengések 9,9 foknál kisebbek, és még elfogadható (maximum 2,5%-os bizonytalanságú), ha a kilengések maximum 15 fokosak.

ForrásokSzerkesztés

  1. Demény A., Erostyák J., Szabó G., Trócsányi Z.: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, ISBN 963195577X

Külső hivatkozásokSzerkesztés