Momentumok módszere

A statisztikában a momentumok módszere a populáció paraméterei becslésének egy módja.

A módszer első lépése a populációmomentumok (azaz a szóban forgó valószínűségi változó hatványainak várható értékei) kifejezése a vizsgált paraméterek függvényében. Ezeket a kifejezéseket ezután egyenlővé tesszük a mintamomentumokkal. Az így kapott egyenletek száma megegyezik a becsülendő paraméterek számával. Ezeket az egyenleteket ezután megoldjuk a kérdéses paraméterekre. A megoldások ezeknek a paramétereknek a becslései.

A momentumok módszerét Pafnutyij Csebisev vezette be 1887-ben a központi határeloszlástétel bizonyítása során. Az az elképzelés, hogy megfelelő empirikus momentumokat a populációmomentumokkal kell egyenlővé tenni, legalább Pearsonig megy vissza. 

Módszer

Tegyük fel, hogy a probléma $k$ darab ismeretlen paraméter $\theta _{1},\theta _{2},\dots ,\theta _{k}$becslése, amik a $W$ valószínűségi változó $f_{W}(w;\theta )$ eloszlásfüggvényét parametrizálják. Tegyük fel, hogy az eloszlás első $k$ momentuma felírható a $\theta$ paraméterek függvényeként:

${\begin{aligned}\mu _{1}&\equiv \operatorname {E} [W]=g_{1}(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}),\\[4pt]\mu _{2}&\equiv \operatorname {E} [W^{2}]=g_{2}(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}),\\&\,\,\,\vdots \\\mu _{k}&\equiv \operatorname {E} [W^{k}]=g_{k}(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}).\end{aligned}}$

Vegyünk egy $n$ méretű mintát, ami a $w_{1},\dots ,w_{n}$ értékeket eredményezi . A $j=1,\dots ,k$ indexekre legyen

${\widehat {\mu }}_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{j}$

a j-edik mintamomentum, ami $\mu _{j}$ empirikus becslése. A $\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{k}$paramétekre adott becsléseink – melyeket rendre a ${\widehat {\theta }}_{1},{\widehat {\theta }}_{2},\dots ,{\widehat {\theta }}_{k}$változók jelölnek – az alábbi egyenletek megoldásaiként vannak definiálva (ha ilyen megoldás létezik): 

${\begin{aligned}{\widehat {\mu }}_{1}&=g_{1}({\widehat {\theta }}_{1},{\widehat {\theta }}_{2},\ldots ,{\widehat {\theta }}_{k}),\\[4pt]{\widehat {\mu }}_{2}&=g_{2}({\widehat {\theta }}_{1},{\widehat {\theta }}_{2},\ldots ,{\widehat {\theta }}_{k}),\\&\,\,\,\vdots \\{\widehat {\mu }}_{k}&=g_{k}({\widehat {\theta }}_{1},{\widehat {\theta }}_{2},\ldots ,{\widehat {\theta }}_{k}).\end{aligned}}$

Előnyök és hátrányok

A momentumok módszere meglehetősen egyszerű, és konzisztens becsléseket ad (nagyon gyenge feltételezések mellett), bár ezek a becslések gyakran torzítottak.

A momentumok módszere a maximum likelihood módszer alternatívája.

Egyes esetekben azonban a maximum likelihood módszer által adott egyenletek megoldhatatlanok lehetnek számítógépek nélkül, míg a momentum alapú becslések sokkal gyorsabban és könnyebben kiszámíthatóak. A könnyű kiszámíthatóság miatt a momentum-becslések használhatók a likelihood egyenletek megoldásainak első közelítéseként, majd az egymást követő javított közelítések a Newton–Raphson-módszerrel kereshetők. Ily módon a momentumok módszere segíthet a maximum likelihood becslések megtalálásában.

Egyes esetekben, nagy mintáknál ritkán, de kis mintáknál nem olyan ritkán, a momentumok módszerével adott becslések kívül esnek a paramétertéren (ahogy az alábbi példában látható); ilyenkor nincs értelme rájuk hagyatkozni. Ez a probléma soha nem merül fel a maximum likelihood módszernél. A momentumok módszerével kapott becslések sem feltétlenül elégséges statisztikák, azaz néha nem veszik figyelembe a mintában szereplő összes releváns információt.

Más szerkezeti paraméterek (pl. hasznossági függvény paraméterei, ismert valószínűségi eloszlás paraméterei helyett) becslésekor előfordulhat, hogy nem ismertek megfelelő valószínűségi eloszlások, és a momentum alapú becslések előnyben részesíthetők a maximum likelihood becsléssel szemben.

Példák

A momentumok módszerének példakénti alkalmazása a polinomiális sűrűségfüggvények becslése. Ebben az esetben egy közelítő $N$-ed fokú polinom az $[a,b]$ intervallumon van meghatározva. A momentumok módszere ezután egy egyenletrendszert ad, amelynek megoldása egy Hankel-mátrix invertálásával jár.

Egyenletes eloszlás

Tekintsük az egyenletes eloszlást a $[a,b]$ intervallumon: $U(a,b)$ . Ha $W\sim U(a,b)$ akkor

$\mu _{1}=\operatorname {E} [W]={\frac {1}{2}}(a+b)$

$\mu _{2}=\operatorname {E} [W^{2}]={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})$

Ezen egyenletek megoldása azt adja, hogy

${\widehat {a}}=\mu _{1}-{\sqrt {3\left(\mu _{2}-\mu _{1}^{2}\right)}}$

${\widehat {b}}=\mu _{1}+{\sqrt {3\left(\mu _{2}-\mu _{1}^{2}\right)}}$

Ha adott egy $\{w_{i}\}$ minta, akkor használhatjuk a mintamomentumokat ${\widehat {\mu }}_{1}$-t és ${\widehat {\mu }}_{2}$-t ezekből a képletekből hogy megbecsüljük $a$-t és $b$-t .

Ne feledjük azonban, hogy ez a módszer bizonyos esetekben inkonzisztens eredményeket adhat. Például ha a minta $\{0,0,0,0,1\}$ a becslés a ${\widehat {a}}={\frac {1}{5}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{5}},{\widehat {b}}={\frac {1}{5}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{5}}$ eredményt adja annak ellenére, hogy ${\widehat {b}}<1$ és így lehetetlen hogy a $\{0,0,0,0,1\}$ minta az $U({\widehat {a}},{\widehat {b}})$ eloszlásból származzon.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Method of moments (statistics) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.