Muirhead-egyenlőtlenség

A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.

Az „a-közép”Szerkesztés

Bármely valós vektor esetén

 

az x1,…,xn számok „a-közepe” [a] a következő:

 

ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.

Az egyenlőtlenségSzerkesztés

Két n dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy

 
 

Minden x1,…,xn nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:

 
 
 
 
 
 

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség származtatásaSzerkesztés

Legyen a két vektor, a és b, a következő:

 
 

A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen

 
 
 
 
 

Ekkor tetszőleges x1,…,xn nemnegatív számok esetén

 

és

 

hiszen minden xi-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-sal, így minden számot  -szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy

 

További információkSzerkesztés