Negyedfokú egyenlet


Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja: 

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökeiSzerkesztés

Ha  

  és   és   esetén:
 


ellenkező esetben:
 


Ha  

  vagy   esetén:

 


ellenkező esetben mind a négy gyök valós:

 


Megjegyzések:

 ,  ,  

 ,  ,  ,  

 


 

Viète-formulákSzerkesztés

 

 

 

 

Az általános negyedfokú egyenlet megoldásaSzerkesztés

Mivel
 


ebből következik, hogy az

 


alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke  

Ez igaz marad akkor is ha   vagy   tehát az

 


alakú negyedfokú egyenlet gyökei:

 


Ebből következik, hogy az   negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az

 


egyenletrendszerből kiszámoljuk az   ismeretleneket   függvényében.
Kicsit átrendezve:

 


Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:

 


melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

  összefüggés.

 

 



Ha   akkor:

 


vagyis

 

  pedig egyszerüsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

 

ennek eredményeként:

 


Mivel:  


ezért   csak úgy teljesül ha  



Tehát pozitív delta esetén a gyökok:

 


Ha   és   és   akkor   vagyis   komplex szám és ebben az esetben a gyökök:

 



Ha   akkor:

 


Ha   és   akkor   komplex számok lesznek és   miatt   -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:


 


Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:

 



Az   általános negyedfokú egyenlet az   helyettesítéssel:

 
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

  lesznek.

ForrásokSzerkesztés

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információkSzerkesztés

A negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.