Negyedfokú egyenlet

Általános alakja: 


Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökeiSzerkesztés

Ha  

  és   és   esetén:
 


ellenkező esetben:
 


Ha  

  vagy   esetén:

 


ellenkező esetben mind a négy gyök valós:

 


Megjegyzések:

 ,  ,  

 ,  ,  ,  

 


 

Viète-formulákSzerkesztés

 

 

 

 

Az általános negyedfokú egyenlet megoldásaSzerkesztés

Mivel
 


ebből következik, hogy az

 


alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke  

Ez igaz marad akkor is ha   vagy   tehát az

 


alakú negyedfokú egyenlet gyökei:

 


Ebből következik, hogy az   negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az

 


egyenletrendszerből kiszámoljuk az   ismeretleneket   függvényében.
Kicsit átrendezve:

 


Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:

 


melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

  összefüggés.

 

 



Ha   akkor:

 


vagyis

 

  pedig egyszerüsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

 

ennek eredményeként:

 


Mivel:  


ezért   csak úgy teljesül ha  



Tehát pozitív delta esetén a gyökok:

 


Ha   és   és   akkor   vagyis   komplex szám és ebben az esetben a gyökök:

 



Ha   akkor:

 


Ha   és   akkor   komplex számok lesznek és   miatt   -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:


 


Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:

 



Az   általános negyedfokú egyenlet az   helyettesítéssel:

 
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

  lesznek.

A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari módszere szerintSzerkesztés

Az   negyedfokú egyenlet

Ludovico Ferraritól (1522-1565) származó módszer szerinti megoldása két másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet:   ahol

 
 

Megoldása a Cardano képlettel történik.  -t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós   megoldásához  -ot hozzáadjuk:  . A másodfokú egyenletek:

 
 

Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha  . Tekintettel arra, hogy ezeknek a formuláknak az alkalmazása kissé bonyolult (főleg a   és   segédváltozók kiszámítása) a számítási munkát érdemes számítógépre bízni. A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari szerinti megoldása (javítva és továbbfejlesztve, PASCAL nyelven megírva) így néz ki:

PROCEDURE negyedfoku (a,b,c,d:REAL);
VAR p,q,z,z2,z3,m,n,w1,w2,w3:REAL;
BEGIN
  p:=(a*c/4-b*b/12-d)/3;
  q:=(a*b*c/24-a*a*d/8-b*b*b/108+b*d/3-c*c/8)/2;
  harmadfoku(p,q,b/6,z,w1,z2,w2,z3,w3);
  IF (w2=0) AND (z2=z3) THEN IF z2>z THEN z:=z2;
  m:=ngyok(a*a/4-b+2*z); 
  n:=ngyok(z*z-d);
  IF a*z-c < -1.e-7 THEN n := -n;
  masodfoku(a/2+m, z+n, x[1],y[1],x[2],y[2]);
  masodfoku(a/2-m, z-n, x[3],y[3],x[4],y[4])
END;

Látható, hogy semmi mást nem csinál, minthogy meghívja a "harmadfokú" eljárást (egyszer), majd a "másodfokú" eljárást (kétszer egymás után), miután kiszámította azok "bemeneti" együtthatóit. [1]

ForrásokSzerkesztés

  1. Benkő Miklós, Budapest, Hungary
  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információkSzerkesztés