Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.

DefinícióSzerkesztés

Egy kommutatív, egységelemes   gyűrű   ideálja akkor prímideál, ha

  vagy  .

A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és  -rel jelöljük. A spektum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.

PéldákSzerkesztés

  • A racionális egészek   gyűrűjében a prímideálok   alakúak, ahol   vagy prímszám.
  • A   polinomgyűrűben a   és   által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám.
  • Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Egy   ideál akkor és csak akkor prímideál, ha   nullosztómentes.
  • Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz.
  • Krull tétele szerint tetszőleges  -ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is.
  • Egy   ideál akkor és csak akkor prímideál, ha   multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt   helyett rövidebben  -vel szokás jelölni.
  • Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Primideal című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.