Reciprokszabály

A matematikában a reciprokszabály egy gyors módszer arra, hogy egy függvény deriváltját kiszámíthassuk, melynek a reciproka differenciálható. A reciprokszabály alkalmazásakor nem használjuk a hányadosszabályt vagy a láncszabályt.

A reciprokszabály azt állítja, hogy a $1/g(x)$ deriváltja:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right)={\frac {-g'(x)}{(g(x))^{2}}}$

ahol $g(x)\neq 0.$

Bizonyítás

Hányadosszabály felhasználásával

A reciprokszabály a hányadosszabályból származtatható, az $f(x)=1$ számlálóval, ekkor:

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}$
	$={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}$
	$={\frac {-g'(x)}{(g(x))^{2}}}.$

Láncszabály felhasználásával

A láncszabály felhasználásával is levezethető a reciprokszabály, hasonlóan a hányadosszabálynál leírtakhoz. Tekintsük ${\frac {1}{g(x)}}$-et, mely az ${\frac {1}{x}}$ és a $g(x)$ függvények kompozíciója. Ebből már következik az eredmény, a láncszabály alkalmazásával.

Példák

$1/(x^{3}+4x)$ deriváltja:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{3}+4x}}\right)={\frac {-3x^{2}-4}{(x^{3}+4x)^{2}}}.$

$1/\cos(x)$ (ha $\cos x\not =0$) deriváltja:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x).$

Irodalom

• Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5  
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H: Calculus (9th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4  
• Reiman István: Matematika). (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
• Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek

• Láncszabály
• Szorzatszabály
• Derivált
• Hányadosszabály
• https://www.youtube.com/watch?v=4BTl9wzgn40