Súlyozott átlag
A súlyozott átlag a számtani közép általánosítása. A kettő között az a különbség, hogy az egyes értékeknek itt nem feltétlenül egyenlő a szerepe. Egyes értékek nagyobb súllyal eshetnek a latba, mint mások. Leginkább a leíró statisztikában van fontos szerepe.
Ha minden érték egyenlő súllyal esik latba, akkor a súlyozott átlag nem más, mint a közönséges számtani átlag. Bár a súlyozott átlag a legtöbb esetben a számtani átlaghoz hasonlóan működik, vannak olyan tulajdonságai, melyek az intuitív megérzéssel nincsenek összhangban. Erre mutat példát a Simpson-paradoxon.
A súlyozott átlag általában valamilyen súlyokkal ellátott értékek számtani átlagára utal, de ennek mintájára meg lehet határozni az értékek súlyozott mértani átlagát és súlyozott harmonikus átlagát is.
Matematikai definíció
szerkesztésA súlyozott átlaga egy nem üres halmaz elemeinek
nemnegatív súlyokat használva
az eredmény
ami azt jelenti, hogy
Ebből az következik, hogy a nagyobb súlyú elem jobban számít az átlag meghatározásakor, mint azok, melyeknek kisebb a súlyuk. A súlyok nemnegatív értékek lehetnek. Lehetnek olyan értékek, melyeknek 0 a súlya. Legalább egy értéknek azonban ennél nagyobb súllyal kell bírnia. Nullával ugyanis nem lehet osztani.
A formula leegyszerűsödik, ha normáljuk a súlyokat, tehát ezek összértéke , pl. . Ilyen normált súlyoknál a súlyozott átlag egyszerűen .
A közönséges átlag a súlyozott átlag egy olyan speciális esete, ahol minden adatnak egyenlő a súlya.
Példa
szerkesztésVan két osztály. Az egyikbe 20, a másikba 30 tanuló jár. Egy teszten a következő pontszámok születtek:
- Délelőtti osztály = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
- Délutáni osztály = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
A reggeli osztály eredményeinek számtani átlaga 80, a délutáni osztályé pedig 90. A két szám számtani átlaga 85. Ha így állapítjuk meg az évfolyam átlagát, akkor nem vesszük figyelembe, hogy az egyik szám súlya 20, a másiké 30. A 85 nem azt az értéket mutatja meg, hogy hány pontot értek el átlagosan a gyerekek. Azt úgy lehet meghatározni, hogy összeadjuk az összes pontszámot, és az osztályok közötti megoszlásra tekintet nélkül a két osztály összlétszámával osztunk.
Egy másik, szintén járható megoldás az, ha a két osztály átlageredményét az osztály létszámával súlyozva átlagoljuk. Ilyenkor az osztályátlagok súlyozott átlagát számítjuk ki.
A súlyozott átlaggal tehát olyankor is meg tudjuk állapítani az osztályok átlagos pontszámát, ha csak az átlageredményeket és az osztályok létszámát ismerjük.
Források
szerkesztés- Weighted Average. Mathwords. (Hozzáférés: 2011. február 14.)