Schläfli-szimbólum

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja , ahol, ha egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

DefinícióSzerkesztés

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a   sokszögből indul ki. A   szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden él körül r   szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma  , és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A {p,q,r,...,y,z} szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma {p,q,r,...,y}. Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata {q,r,...y,z}.

A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

SzimmetriacsoportokSzerkesztés

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

PéldákSzerkesztés

Sokszögek és csillagsokszögekSzerkesztés

  egy  -szög.

  a pentagramma  .

  és   rendre a   és   heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testekSzerkesztés

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai:   az önduális tetraéder.

  az oktaéder, a megfordított   az oktaéder duálisa, a kocka.

  az ikozaéder, a megfordított   az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parkettákSzerkesztés

  a háromszögparketta, az   inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

  az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testekSzerkesztés

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai:   a nagy ikozaédert, az   inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

  a nagy dodekaédert, az   inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópokSzerkesztés

  a pentakhoron,

  a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka),   duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

  az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

  a 120-cella,   inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióbanSzerkesztés

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p1, p2, ..., pn − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p1,p2, ..., pn − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p2,p3, ..., pn − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p2,p3, ..., pn − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmákSzerkesztés

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

  • p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
  • {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
  • p-q duoprizma: {p} × {q}.

ÁltalánosításaiSzerkesztés

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok Szimmetria Coxeter-diagram Példa: {4,3}
Szabályos   {p,q} t0{p,q} [p,q]
vagy
[(p,q,2)]
        Kocka      
Csonkított   t{p,q} t0,1{p,q}         Csonkított kocka      
Bicsonkítás
(Csonkított duális)
  2t{p,q} t1,2{p,q}               Csonkított oktaéder      
Rektifikált
(Kváziszabályos)
  r{p,q} t1{p,q}             Kuboktaéder      
Birektifikáció
(Szabályos duális)
  2r{p,q} t2{p,q}               Oktaéder      
Cantellated
(A rektifikált rektifikáltja)
  rr{p,q} t0,2{p,q}             Rombikuboktaéder      
Élcsonkított
(A csonkított rektifikáltja)
  tr{p,q} t0,1,2{p,q}             Csonkított kuboktaéder      
Alternációk
Alternált szabályos
(p páros)
  h{p,q} ht0{p,q} [1+,p,q]         Demikocka
(Tetraéder)
     
Snub szabályos
(q páros)
  s{p,q} ht0,1{p,q} [p+,q]      
Snub duális szabály
(p páros)
  s{q,p} ht1,2{p,q} [p,q+]               Snub oktaéder
(Icosahedron)
     
Alternált duális szabályos
(q páros)
  h{q,p} ht2{p,q} [p,q,1+]            
Alternált rektifkált
(p és q is páros)
  hr{p,q} ht1{p,q} [p,1+,q]          
Alternált rektifikált rektifikált
(p és q is páros)
  hrr{p,q} ht0,2{p,q} [(p,q,2+)]          
Quarter
(p és q is páros)
  q{p,q} ht0ht2{p,q} [1+,p,q,1+]          
Snub rektifikált
Snub kváziszabályos
  sr{p,q} ht0,1,2{p,q} [p,q]+             Snub kuboktaéder
(Snub kocka)
     

Négy dimenzióbanSzerkesztés

Linear families
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példa, {4,3,3}
Szabályos   {p,q,r} t0{p,q,r}           Tesszerakt        
Csonkított   t{p,q,r} t0,1{p,q,r}           Csonkított tesszerakt        
Rektifikált   r{p,q,r} t1{p,q,r}           Rektifikált tesszerakt         =      
Bicsonkított 2t{p,q,r} t1,2{p,q,r}           Bicsonkított tesszerakt        
Birektifikált
(rektifikált duális)
  2r{p,q,r} = r{r,q,p} t2{p,q,r}           Rektifikált 16-cella         =      
Tricsonkított
(Csonkított duális)
  3t{p,q,r} = t{r,q,p} t2,3{p,q,r}           Bicsonkított tesszerakt        
Trirektifikált
(Dual)
  3r{p,q,r} = {r,q,p} t3{p,q,r} = {r,q,p}           16-cella        
Cantellált   rr{p,q,r} t0,2{p,q,r}           Cantellált tesszerakt         =      
Élcsonkított   tr{p,q,r} t0,1,2{p,q,r}           Élcsonkított tesszerakt         =      
Runcinált
(kiterjesztett)
  e{p,q,r} t0,3{p,q,r}           Runcinált tesszerakt        
Runcicsonkított t0,1,3{p,q,r}           Runcicsonkított tesszerakt        
Omnicsonkított t0,1,2,3{p,q,r}           Omnicsonkított tesszerakt        
Alternációk
Fél
p páros
  h{p,q,r} ht0{p,q,r}           16-cella        
Negyed
p és r páros
  q{p,q,r} ht0ht3{p,q,r}        
Snub
q páros
  s{p,q,r} ht0,1{p,q,r}           Snub 24-cella        
Snub rectifikált
r páros
  sr{p,q,r} ht0,1,2{p,q,r}           Snub 24-cella         =      
Alternált omnicsonkítás ht0,1,2,3{p,q,r}           Nagy duoantiprizma          
Bifurkáló családok
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példák
Kváziszabályos   {p,q1,1} t0{p,q1,1}         16-cella      
Csonkított   t{p,q1,1} t0,1{p,q1,1}         Csonkított 16-cella      
Rektifikált   r{p,q1,1} t1{p,q1,1}         24-cella      
Cantellált   rr{p,q1,1} t0,2,3{p,q1,1}         Cantellált 16-cella      
Élcsonkított   tr{p,q1,1} t0,1,2,3{p,q1,1}         Élcsonkított 16-cella      
Snub rectifikált   sr{p,q1,1} ht0,1,2,3{p,q1,1}         Snub 24-cella      
Kváziszabályos   {r,/q\,p} t0{r,/q\,p}            
Csonkított   t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p}            
Rektifikált   r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p}            
Cantellált   rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p}            
Élcsonkított   tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p}            
snub rektifikált   sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r}            

ForrásokSzerkesztés

  • Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-Symbol című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli symbol című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.