Schur-egyenlőtlenség

A Schur-egyenlőtlenség, melyet Issai Schurról neveztek el, azt mondja ki, miszerint minden nemnegatív valós x, y, z-re és pozitív t-re,

,

ahol az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x = y = z vagy kettő egyezik és a harmadik 0. Ha t egy páros pozitív egész, akkor az egyenlőtlenség minden x, y, z valósra teljesül.

Amikor , a következő közismert egyenlőtlenséget kaphatjuk:

BizonyításSzerkesztés

Mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus x, y, z-re, vehetjük úgy, hogy  . Ekkor a

 

egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, hiszen minden tagja legalább 0. Ez pedig átrendezhető a Schur-egyenlőtlenségre.

ÁltalánosításSzerkesztés

A Schur-egyenlőtlenség egy általánosítása a következő: Legyenek a, b, c pozitív valós számok. Ha (a,b,c) és (x,y,z) ugyanúgy rendezettek, akkor:

 

2007-ben Valentin Vornicu román matematikus megmutatta, miszerint az alábbi, még általánosabb egyenlőtlenség teljesül:

Legyen  , ahol  , és vagy   vagy  . Legyen  , és legyen   vagy konvex vagy monoton. Ekkor,

 

Ezen egyenlőtlenség azon formája, mely a Schur-egyenlőtlenséget adja: x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = mr.

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Schur's inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.