„Elliptikus integrál” változatai közötti eltérés

 

Az elliptikus integrált ''f'' függvényként, a következőképpen definiálják:

 

<math> f(x) = \int_{c}^{x} R \left(t, \sqrt{P(t)} \right) \, dt </math>

 

ahol ''R'' egy racionális függvény két argumentummal, ''P'' egy 3-ad, vagy 4-egy rendű polinom, és ''c'' egy konstans.

 

Általában az elliptikus integrált nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Az egyik argumentum kifejezése:

 

* ''k'' = sin ''α'', az elliptikus modulus, vagy [[excentricitás]];

* ''m'' = ''k''² {{=}} sin²''α''}}, a ''paraméter''.

 

<math> F(\varphi \setminus \alpha) = F(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \frac{d \theta}{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2}}</math>.

 

Jelölésünkben, a függőleges vonal, mint delimiter, jelzi, hogy a következő argumentum a “paraméter”, míg a visszaper-karakter jelzi, hogy ez a moduláris szög.

 

azaz, a Jacobi-féle elliptikus függvények az elliptikus integrálok inverzei.

 

==Másodfajú inkomplett elliptikus integrál==

 

:<math> \Pi(n; \,\mathrm{sn}(u;k); \,k) = \int_0^u \frac{dw} {1 - n \,\mathrm{sn}^2 (w;k)}</math>.

 

==Elsőfajú komplett elliptikus integrál==

Elliptikus integrálra akkor mondjuk, hogy “komplett”, ha az amplitudó ''φ''=''π''/2 és ezért ''x''=1.

Elsőfajú komplett elliptikus integrál, ''K'' definíciója:

 

:<math>K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}</math>,

 

A Gaussi hipergeometrikus függvény kifejezéseivel:

 

:<math>E(k) = \tfrac{\pi}{2} \,{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}; 1; k^2 \right)</math>.

:<math>E\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac 3 4} \pi^2 \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10} 3} 3^{-\frac {1} 4} \pi^{-1} (\sqrt3 + 1) \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3 </math>

:<math>E\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac 1 4} \pi^2 \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10} 3} 3^{\frac 1 4} \pi^{-1} (\sqrt3 - 1) \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3 </math>

 

===Derivált és differenciál egyenlet===

 

:<math>(k^2-1) \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k \;\frac {\mathrm{d}E(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k E(k)</math>

 

==Harmadfajú komplett elliptikus integrál==

 

:<math>\Pi'(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}</math>.

 

===Parciális deriváltak===

 

:<math> K(k) E\left(\sqrt{1-k^2}\right) + E(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) - K(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) = \frac \pi 2</math>.

 

==Irodalom==

 

==Kapcsolódó szócikkek==

*http://code.google.com/p/elliptic/

*http://www.exstrom.com/math/elliptic/ellipint.html