„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a interwikik |
Motiváció |
||
7. sor:
A topologikus terek kategóriájában a morfizmusok a két topologikus tér között menő folytonos függvények, amelyek megőrzik a topologikus terek szerkezetét, és közeli pontokat közeli pontokba visznek. A [[metrikus tér|metrikus terek]] topológiájában egy függvény méri a távolságot az egyes pontok között. Ez a távolságfüggvény adja meg a tér topológiáját, vagyis hogy mely halmazok tekinthetők nyíltnak. A metrikus terekben vizsgálhatók az [[izometria|izometriák]] is, amelyek megőrzik a távolságot a topologikus invariánsok mellett. A topológia szempontjából jól ismerjük a topologikus tereket, bár vannak megoldatlan problémák is.
==Motiváció==
A nyílt halmazok segítenek az egyes pontok elkülönítésében. Hogyha egy pont körül van egy nyílt halmaz, ami nem tartalmaz egy másik pontot, akkor a két pont topológiailag elkülöníthető, így lehet mérték bevezetése nélkül beszélni topologikus közelségről.
A valós számok halmazán a szokásos euklideszi metrikában, ha ''x'' és ''y'' valós szám,ok, akkor távolságuk így adható meg: ''d''(''x'', ''y'') = |''x'' - ''y''|. Így beszélhetünk egy valós szám környezetéről, vagyis egy adott valós számhoz közeli számok halmazáról. Ha ''x'' valós szám, akkor az ε sugarú környezetébe azok a valós szám,ok tartoznak, amelyek ε-nál közelebb vannak ''x''-hez. Ha ε-t egyre kisebb pozitív számnak vesszük, akkor a környezet pontjai egyre inkább megközelítik ''x''-et. Például, ha ''x'' = 0 és ε = 1, akkor a környezet a (-1,1) intervallum, tehát a -1 és 1 közötti számok. Ha ε = 0,5, akkor az intervallum a -0,5 és 0,5 közötti számokra szűkül. Ezek a számok pontosabban közelítik ''x''-et, mint ha ε = 1.
[[Kategória: Topológia]]
[[Kategória: Geometria]]
| |||