„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Motiváció: metrika és környezetek |
→Motiváció: környezetbázis és topologikus tér bevezetése |
||
13. sor:
Ahogy a fentiek mutatják az ''x'' = 0 esetben az egyre kisebb ε esetén a (-ε,ε) intervallum egyre pontosabban megközelíti ''x''-et. Jobban mondva, ezek az intervallumok egyre több információt adnak a 0 valós számról. A konkrét metrika helyett halmazokkal is leírhatók a közeli pontok. Ennek az ötletnek messzemenő következményei vannak: a különböző 0-t közös elemként tartalmazó halmazrendszerek esetén különböző eredményeket kaphatunk a 0 és más valós számok távolsága szerint. Ha a távolság méréséhez csak a teljes <math>\R</math> halmazt fogadjuk el, akkor minden pont közel lesz 0-hoz, hiszen csak egy pontossági fok van. Tehát bizonyos értelemben a 0-tól minden 0 távolságra van. Ezt az segíthet elfogadni, hogy ez egy igaz-hamis állítás: ami valós, az 0-hoz közeli, ami nem valós, az 0-tól távoli.
Általában, a 0-t megközelítő halmazok rendszere a 0 [[környezetbázis]]a; ennek elemei nyílt halmazok. Ez a szemlélet más halmazokra is általánosítható. Jelölje az adott halmazt ''X'', és legyen ''x'' eleme ''X''-nek! Ekkor megadható olyan ''x''-et tartalmazó halmazok rendszere, amely approximálja ''x''-et. Ha ez megfelel bizonyos axiómáknak, akkor a távolságmérés egy jól definiált módszerét kapjuk. Például ''X'' egy tetszőleges pontja valamennyire megközelíthető kell, hogy legyen, ezért ''X''-nek benne kell lennie ezek uniójában. Ha kisebb halmazokat is beveszünk, akkor ''x''-et pontosabban is megközelítjük. Emellett vannak más axiómák is, amelyeket kielégítve egyre jobb tulajdonságú tereket kaphatunk.
[[Kategória: Topológia]]
| |||