„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Tulajdonságai: Alkalmazásai |
→Alkalmazásai: Megjegyzések: A nyíltság relatív |
||
36. sor:
Végtelen sok nyílt halmaz metszete nem szükségszerűen nyílt. Például az (−1/''n'', 1/''n'') alakú nyílt intervallumok metszete nem nyílt, hiszen megegyezik a {0} halmazzal, ami a valós számok szokásos metrikájában nem nyílt. A megszámlálható sok nyílt halmaz uniójaként konstruálhatók a G<sub>δ</sub> halmazok.
==Alkalmazásai==
A nyílt halmazok központi szerepet kapnak a topológiában. A fogalmat a topologikus, a [[metrikus tér|metrikus]] és az [[uniform tér|uniform terek]] megalkotásához használják fel.
Minden, topologikus térbe ágyazott halmaz tartalmaz nyílt halmazt, ha mást nem, akkor az üreset. A legnagyobb
Legyen ''X'' és ''Y'' topologikus tér, és ''f'' egy ''X''-ből ''Y''-ba menő [[függvény]]. Ekkor, ha ''Y'' minden nyílt részhalmazának
A valós számok nyílt halmazai előállnak megszámlálható nyílt intervallum uniójaként.
==Megjegyzések==
===A nyíltság relatív===
A halmazok nyílt volta a topológiától függ. A topologikus tereket sokszor tartóhalmazukkal jelöljük; ekkor a korábban bevezetett, vagy a szokásos topológiára gondolunk. Ha egy halmazon két topológia van megadva, akkor ha egy halmaz az egyikben nyílt, akkor a másikban nem biztos, hogy az. Például az altértopológiában nyíltak azok a halmazok, amelyeknek az altérrel vett metszete nyílt; ez új nyílt halmazokat vezet be.
Álljon az ''U'' halmaz a (0, 1) intervallum racionális számaiból! Ekkor ''U'' nyílt a racionális számok szokásos topológiájában, de nem nyílt a valós számok szokásos topológiájában.
A racionális számok topológiájában minden pontjához van egy környezet, amiben levő racionális számok benne vannak az intervallumban. A valós számok halmazán ez nincs így, mivel minden racionális szám tetszőlegesen pontosan megközelíthető irracionális számokkal.
[[Kategória: Topológia]]
| |||