„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Tulajdonságai: metszetpélda, unió |
→Alkalmazásai: nyílt leképezések |
||
78. sor:
A nyílt halmazok központi szerepet kapnak a topológiában. A fogalmat a topologikus, a [[metrikus tér|metrikus]] és az [[uniform tér|uniform terek]] megalkotásához használják fel.
A valós számok nyílt halmazai előállnak megszámlálható nyílt intervallum uniójaként.▼
Minden, topologikus térbe ágyazott halmaz tartalmaz nyílt halmazt, ha mást nem, akkor az üreset. A legnagyobb nyílt [[részhalmaz]] a halmaz belseje, ami előáll az összes nyílt részhalmaz uniójaként.▼
▲Minden, topologikus térbe ágyazott halmaz tartalmaz nyílt halmazt, ha mást nem, akkor az üreset. A legnagyobb nyílt [[részhalmaz]] a halmaz belseje, ami előáll az összes nyílt részhalmaz uniójaként. Itt a nyíltság az egész téren értendő, és nem a halmazra vonatkoztatva.
Legyen ''X'' és ''Y'' topologikus tér, és ''f'' egy ''X''-ből ''Y''-ba menő [[függvény (matematika)|függvény]]. Ekkor, ha ''Y'' minden nyílt részhalmazának [[őskép]]e nyílt ''X''-ben, akkor ''f'' [[folytonos függvény|folytonos]]. Ha ''f'' megőrzi a nyíltságot, akkor nyílt leképezés.▼
▲Legyen ''X'' és ''Y'' topologikus tér, és ''f'' egy ''X''-ből ''Y''-ba menő [[függvény (matematika)|függvény]]. Ekkor, ha ''Y'' minden nyílt részhalmazának [[őskép]]e nyílt ''X''-ben, akkor ''f'' [[folytonos függvény|folytonos]].
▲A valós számok nyílt halmazai előállnak megszámlálható nyílt intervallum uniójaként.
Ha ''f'' megőrzi a nyíltságot, akkor nyílt leképezés. A folytonossággal szemben nem ekvivalens a zárt halmazos tulajdonság. Az <math>(s,t) \mapsto s</math> vetítés <math>p \colon \R^2 \to \R</math> nyílt, de az <math>\{(s,t) \colon s \geq 0, st \geq 1\}</math> halmazt <math>]0,\infty[</math>-re képezi. A nyílt leképezésekkel vizsgálható a bijektív leképezések inverzének folytonossága. A [[funkcionálanalízis]] egyik központi tétele a nyílt lineáris leképezésekről a [[nyílt leképezések tétele]].
Egy leképezés relatív nyílt, ha nyílt a képének altértopológiájára.
==Megjegyzések==
| |||