„Zéruselem” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Matematika kategória hozzáadva (a HotCattel) |
a régi cikk anyagának visszamásolása |
||
4. sor:
A [[Matematika|matematikában]], a '''zéruselem''' egy általánosítása a [[nulla]] számnak, más algebrai szerkezetekre. Ezek az általánosítások néha teljesen visszavezethetőek az ugyanarra a koncepcióra, néha nem feleltethető meg ilyen kapcsolat egyértelműen.
Egy lehetséges formális definíció a következő: adott egy <math> U </math> [[halmaz]] és egy <math> * : U \times U \mapsto U </math> kétváltozós ''(bináris)'' [[művelet]].
Tehát bármely a,b ∈ U elemekhez tartozik egyetlen *''(a,''''b)'' = ''a''*''b'' = ''c'' ∈ U elem. Ekkor az ''z'' ∈ U elem '''''zéruselem''''' a * bináris műveletre nézve, ha tetszőleges ''x'' ∈ U elemre érvényes: ''x''*''z'' = ''z''*''x'' = ''z.''
Egy másik definíció a [[grupoid]]-[[transzláció (algebra)|transzláció]] fogalmára alapoz: eszerint a ''z'' ∈ U elem akkor neutrális eleme az (U,*) grupoidnak, ha a ''z'' elemhez tartozó ''Tj'' <sub>''z''</sub> és ''Tb'' <sub>''z''</sub> jobb oldali és bal oldali transzlációk egyaránt az U feletti, minden elemhez ''z''-t rendelő [[konstans függvény|konstans függvénnyel]] egyenlőek, azaz ha tetszőleges ''x'' ∈ U elemre ''Tj'' <sub>''z''</sub> (''x'') = ''z'' és ''Tb'' <sub>''z''</sub>(''x'') = ''z.'' Minthogy ''Tj'' <sub>''z''</sub> (''x'') := ''x''*''z'' és ''Tb'' <sub>''z''</sub> (''x'') = ''z''*''x,'' ez tényleg az előző definícióval ekvivalens.
==Egyértelműség==
A neutrális elem egyértelmű (legfeljebb egy van belőle az alaphalmazban). Ugyanis ha ''z,''''u'' ∈ U neutrális elemek, akkor '''''z'''''*''u'' = ''u''*'''''z''''' = '''''z'''''; mivel ''z'' neutrális; és ''z''*'''''u''''' = '''''u'''''*''z'' = '''''u''''', mivel ''u'' is neutrális, így ''z'' = ''u.''
==Additív neutrális elemek==
Az additív neutrális elem az összeadás [[neutrális elem|neutrális eleme]]. Ez az elem teljesíti a {{nowrap|0 + ''x'' {{=}} ''x''.}} egyenletet. Példák ilyen elemekre, különböző rendszerekben:
74 ⟶ 81 sor:
Az additív neutrális elem, és az abszorbáló elemek sok rendszerben megegyeznek a zéruselemmel, de ez nem szükségszerűen igaz.
== Féloldali zéruselemek ==
Ha csak ''x''*''z'' = ''z'' teljesül, de ''z''*''x'' = ''z'' nem ''feltétlenül;'' akkor ''z'' neve '''''jobb(oldali) zéruselem''''', ha meg csak ''z''*''x'' = ''z'' (de ''x''*''z'' = ''z'' nem minden ''x''-re), akkor a neve '''''bal(oldali) zéruselem'''''. Persze ''z'' akkor és csak akkor zéruselem, ha bal- és és jobb oldali zéruselem is egyszerre.
Míg a zéruselem egyértelmű, addig a féloldali zéruselemek többen is lehetnek. Sőt létezik olyan művelet, mely végtelen alaphalmazának minden eleme féloldali neutrális [[#Példák|(ld. 10. példa)]].
Ha egy elem bal oldali zéruselem, de nem zéruselem, akkor valódi bal oldali zéruselemnek nevezzük, hasonlóan ha jobb oldali zéruselem, de nem kétoldali, akkor valódi jobb oldali zéruselemnek.
Megjegyezzük, hogy ha egy műveletre nézve van jobb oldali ''j'' és van bal oldali ''b'' zéruselem, akkor ezek szükségképp egyenlőek, és így van zéruselem, hiszen ''x''*''j'' = j miatt ''b''*''j'' = ''j,'' ugyanakkor ''b''*''x'' = ''b'' miatt ''b''*''j'' = ''b.'' Azaz ''b''*''j'' = ''j'' = ''b.''
Ebből következően
* egy műveletre nézve akkor és csak akkor létezik zéruselem, ha létezik egy bal oldali és egy jobb oldali zéruselem (mert ekkor ezek szükségképp egyenlőek).
* Bármely műveletre bármely ''x'' ∈ U esetén a következő lehetőségek közül egy és csak egy teljesül:
** ''x'' valódi bal oldali zéruselem (s ekkor nincs jobb oldali zéruselem, tehát zéruselem sincs);
** ''x'' valódi jobb oldali zéruselem (s ekkor nincs bal oldali zéruselem, tehát zéruselem sincs);
** ''x'' (kétoldali) zéruselem (s ekkor nincs valódi zéruselem).
== Példák ==
# Az [[egész szám]]ok körében értelmezett [[legnagyobb közös osztó]] műveletének zéruseleme a 1.
# Az egész számok körében értelmezett [[legkisebb közös többszörös]] műveletének zéruseleme a 0.
# egy U halmaz [[hatványhalmaz]]a felett értelmezett unió műveletének a zéruseleme maga az U; mert <math> A \subseteq U </math> esetén <math> A \cup U = U </math>;
# egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett metszet műveletének a zérusneutrális eleme <math> \empty </math> [[üres halmaz]]
# Egy U halmaz hatványhalmaza felett értelmezett [[szimmetrikus differencia]] műveletének zéruseleme az <math> \empty </math> üres halmaz;
# a [[valós számok]] <math> \mathbb{R} </math> halmaza felett értelmezett összeadás műveletének nincs zéruseleme; de a szorzás műveletének van zéruseleme, a 0;
# Olyan műveleteket sem nehéz elképzelni, melyek alaphalmazának minden eleme féloldali – vagy mind jobb oldali-, vagy mind bal oldali- – zéruselem. Legyen <math> U={a_{1} , a_{2} , a_{3}} </math> (az egyszerűség kedvéért 3 elemből áll, de hasonlóan megvalósítható akárt végtelen sok elemmel is). A következő [[művelettábla|művelettáblával]] defimiált két * <sub> b </sub> és * <sub> j </sub> művelet abszolúte jól definiált művelet (magyarázat a táblázatokhoz: az x elemmel jelölt sor és az y elemmel jelölt oszlop kereszteződésében álló cellába írtuk az x*y elemet):
==Lásd még==
| |||