„Szerkesztő:Klj/piszkozat” változatai közötti eltérés
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Klj (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Klj (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
[[Banach fixponttétele]], [http://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem Banach fixed-point theorem]
A '''Banach-féle fixponttétel''' azt mondja,
==A tétel==
Azokat a [[Lipschitz-tulajdonság|Lipschitz-függvényeket]], amiknek a Lipschitz-konstansa kisebb mint egy, kontrakciónak nevezzük, tehát ''f'':''X''→''X'' kontrakció, ha van olyan ''L''<1, hogy minden ''X''-beli ''x''-re és ''y''-ra:
:<math>d(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)</math>
<blockquote>'''Banach fixponttétele.''' Legyen ''X'' nem üres tér metrikus tér, és ''f'':''X''→''X'' kontrakció. Ekkor pontosan egy olyan ''x*'' van ''X''-ben, amire ''f''(''x*'')=''x*''. </blockquote>
===Bizonyítás===
Minden kontrakciónak legfeljebb egy fixpontja van. Legyen ugyanis ''x'' és ''y'' ''f'' kontrakció két fixpontja. Ekkor ''x'' és ''y'' távolsága ugyanakkora, mint ''f''(''x'') és ''f''(''y'') távolsága, de alkalmas ''L'' egynél kisebb Lipschitz-konstansra:
:<math>d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)</math>,
amiből kapjuk, hogy ''d''(''x'',''y'')=0, amivel a fixpont unicitását igazoltuk.
Legyen ''x<sub>''0''</sub>'' ''X'' tetszőleges eleme, és definiáljuk rekurzióval az ''x<sub>n+''1''</sub>''=''f''(''x<sub>n</sub>'') sorozatot, erről fogjuk belátni, hogy konvergens, és a határértéke fixpontja ''f''-nek.
Először is tegyük fel, hogy ''x<sub>n</sub>'' sorozat konvergens, és határértéke ''x*''. Mivel ''f'' Lipschitz, folytonos, így az átviteli elvet alkalmazva:
:<math>\lim\limits_n f(x_n)=f(x^*)</math>
Tekintve, hogy ''f''(''x<sub>n</sub>'')=''x<sub>n+''1''</sub>'', a baloldali határérték is ''x*'', így ''x*'' valóban fixpont.
Csak azt kell megmutatnunk, hogy ''x''<sub>''n''</sub> sorozat konvergens. Teljes indukcióval rögtön adódik, hogy:
:<math>d(x_n,x_{n+1})\leq L^nd(x_0,x_1)</math>
Legyen ''n''<''m''. A háromszögegyenlőtlenség ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy
:<math>d(x_n,x_m)\leq d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)</math>
ahol a jobboldalt az előző becsléssel felűlről becsülhetjük:
:<math>d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)\leq (L^n+\ldots+L^{m-1})d(x_0,x_1)</math>
Alkalmazva a [[mértani sorozat]] összegképletét:
:<math>d(x_n,x_m)\leq L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)</math>
mivel 1-''L<sup>m-n</sup>''<1, a jobboldal ismét felülről becsülhető:
:<math>L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)</math>
Legyen ''ε''>0 tetszőleges, és ''N'' olyan, hogy
:<math>\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1)<\varepsilon</math>
Ha ''N''<''n''<''m'', akkor az előző becslést alkalmazva
:<math>d(x_n,x_m)\leq\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1),</math>
ahol a jobboldal a feltételek szerint:
:<math>\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)<\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1),</math>
azaz
:<math>d(x_n,x_m)<\varepsilon,</math>
tehát ''x<sub>n</sub>'' sorozat Cauchy, és a tér Banach, így a sorozat konvergens, amivel a bizonyítást befejeztük.
===Konvergencia-sebesség===
| |||