„Szerkesztő:Klj/piszkozat” változatai közötti eltérés

A Banach-féle fixponttétel érdekes közvetlen alkalmazása a következő feladat: mi történik, ha egy tetszőleges számra a számológéppel egymás után sokszor alkalmazzuk a [[koszinusz]] függvényt?

Legyen ''x''₀ tetszőleges valós szám, cos ''x''₀ ekkor már [-1,1] intervallumba esik. Ezen az intervallumon a koszinusz kontrakció, lévén a deriváltja abszolútértékének a korlátja sin 1 < 1, így létezik fixpontja. A fixponttétel bizonyításakor használt sorozat épp a koszinusz iterálása, amiről beláttuk, hogy koszinusz fixpontjához tart, így bármely számról is indulunk a koszinusz gomb kitartó nyomkodásával a cos ''x''=''x'' egyenlet egyetlen gyökét közélítjük.

 

==Források==