|
[[Banach fixponttétele]], [http://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fixed-point_theorem Banach fixed-point theorem]
A '''Banach-féle fixponttétel''' azt mondja, hogy [[Teljes metrikus tér|teljes metrikus térben]] minden [[kontrakció|kontrakciónak]] („távolságzsugorító függvénynak”) létezik pontosan egy [[fixpont]]ja. A tétel jelentőségét az adja, hogy az analízis olyan alapvető tételeinek, mint az [[inverzfüggvény-tétel]], vagy [[Picard-Lindelöf-tétel]], a bizonyítása Banach fixponttételén múlik. A tétel eredeti bizonyítása maga is [[konstruktív bizonyítás|konstruktív]], vagyis a fixpontnak nemcsak a létezését bizonyítja, de az konkrétan (legalábbis határértékként) meg is adható, sőt, a kapott sorozat a konvergenciasebessége is jól becsülhető, így a tétel jól alkalmazható a [[Numerikus analízis|numerikus matematikában]] is. A tétel a nevét [[Stefan Banach]]ról kapta (1892-1945), aki 1922-ben publikálta.
==A tétel==
Azokat a [[Lipschitz-tulajdonság|Lipschitz-függvényeket]], amiknek a Lipschitz-konstansa kisebb mint egy, kontrakciónak nevezzük, tehát ''f'':''X''→''X'' kontrakció, ha van olyan ''L''<1, hogy minden ''X''-beli ''x''-re és ''y''-ra:
:<math>d(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)</math>
<blockquote>'''Banach fixponttétele.''' Legyen ''X'' nem üres tér metrikus tér, és ''f'':''X''→''X'' kontrakció. Ekkor pontosan egy olyan ''x*'' van ''X''-ben, amire ''f''(''x*'')=''x*''. </blockquote>
===Bizonyítás===
Minden kontrakciónak legfeljebb egy fixpontja van. Legyen ugyanis ''x'' és ''y'' ''f'' kontrakció két fixpontja. Ekkor ''x'' és ''y'' távolsága ugyanakkora, mint ''f''(''x'') és ''f''(''y'') távolsága, de alkalmas ''L'' egynél kisebb Lipschitz-konstansra:
:<math>d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)</math>,
amiből kapjuk, hogy ''d''(''x'',''y'')=0, amivel a fixpont unicitását igazoltuk.
Legyen ''x<sub>''0''</sub>'' ''X'' tetszőleges eleme, és definiáljuk rekurzióval az ''x<sub>n+''1''</sub>''=''f''(''x<sub>n</sub>'') sorozatot, erről fogjuk belátni, hogy konvergens, és a határértéke fixpontja ''f''-nek.
Először is tegyük fel, hogy ''x<sub>n</sub>'' sorozat konvergens, és határértéke ''x*''. Mivel ''f'' Lipschitz, folytonos, így az átviteli elvet alkalmazva:
:<math>\lim\limits_n f(x_n)=f(x^*)</math>
Tekintve, hogy ''f''(''x<sub>n</sub>'')=''x<sub>n+''1''</sub>'', a baloldali határérték is ''x*'', így ''x*'' valóban fixpont.
Csak azt kell megmutatnunk, hogy ''x''<sub>''n''</sub> sorozat konvergens. Teljes indukcióval rögtön adódik, hogy:
:<math>d(x_n,x_{n+1})\leq L^nd(x_0,x_1)</math>
Legyen ''n''<''m''. A háromszögegyenlőtlenség ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy
:<math>d(x_n,x_m)\leq d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)</math>
ahol a jobboldalt az előző becsléssel felűlről becsülhetjük:
:<math>d(x_n,x_n+1) + \ldots + d(x_m-1,x_m)\leq (L^n+\ldots+L^{m-1})d(x_0,x_1)</math>
Alkalmazva a [[mértani sorozat]] összegképletét:
:<math>d(x_n,x_m)\leq L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)</math>
mivel 1-''L<sup>m-n</sup>''<1, a jobboldal ismét felülről becsülhető:
:<math>L^n \frac{1-L^{m-n}}{1-L}d(x_0,x_1)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)</math>
Legyen ''ε''>0 tetszőleges, és ''N'' olyan, hogy
:<math>\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1)<\varepsilon</math>
Ha ''N''<''n''<''m'', akkor az előző becslést alkalmazva
:<math>d(x_n,x_m)\leq\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1),</math>
ahol a jobboldal a feltételek szerint:
:<math>\frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1)<\frac{L^N}{1-L}d(x_0,x_1),</math>
azaz
:<math>d(x_n,x_m)<\varepsilon,</math>
tehát ''x<sub>n</sub>'' sorozat Cauchy, és a tér Banach, így a sorozat konvergens, amivel a bizonyítást befejeztük.
===Konvergencia-sebesség===
A bizonyításnál felhasznált sorozat konvergencia-sebességére a bizonyításból is kiolvasható, hogy
:<math>d(x_n,x^*)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1).</math>
Mint láttuk,
:<math>d(x_n,x^m)\leq \frac{L^n}{1-L}d(x_0,x_1),</math>
és mivel a jobboldal független ''m''-től, ''m''-mel tartva a végtelenhez, kapjuk a becslést.
==Alkalmazások==
* A tétel egyik legfontosabb alkalmazása a Picard-Lindelöf-tétel bizonyítása, ami bizonyos [[közönséges differenciálegyenlet|közönséges differenciálegyenletek]] megoldásának egyértelmű létezéséről szól. A bizonyítás során a [[differenciálegyenlet]] keresett megoldását egy olyan alkalmas integráloperátor fixpontjaként állítjuk elő, ami folytonos függvényeket folytonos függvényekbe visz. A Banach-fixponttétellel a fixpont egyértelműségét igazoljuk.
*A fixponttétel másik fontos következménye, hogy az identitás kicsiny Lipschitz-perturbációi bilipschitz homeomorfizmusok. Ez utóbbi ténynek közvetlen folyománya az [[Inverzfüggvény-tétel|inverzfüggvény-tétel]].
* A numerikus analízisben a gyökközelítő módszerek tekintélyes osztályát adják az úgynevezett fixpontiterációs módszerek, amelyek azon az elven nyugszanak, hogy az ''f''(''x'')=0 gyökét egy olyan alkalmas függvény fixpontjaként állítják elő, ami a keresett gyök valamilyen környezetén kontrakció. Ezen módszerek tipikus példája elég sima függvényekre a [[Newton-módszer]] és lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldására a [[Jacobi-iteráció]].
===„Beragadt” koszinuszgomb===
A Banach-féle fixponttétel érdekes közvetlen alkalmazása a következő feladat: mi történik, ha egy tetszőleges számra a számológéppel egymás után sokszor alkalmazzuk a [[koszinusz]] függvényt?
Legyen ''x''<sub>0</sub> tetszőleges valós szám, cos ''x''<sub>0</sub> ekkor már [-1,1] intervallumba esik. Ezen az intervallumon a koszinusz kontrakció, lévén a deriváltja abszolútértékének a korlátja sin 1 < 1, így létezik fixpontja. A fixponttétel bizonyításakor használt sorozat épp a koszinusz iterálása, amiről beláttuk, hogy koszinusz fixpontjához tart, így bármely számról is indulunk a koszinusz gomb kitartó nyomkodásával a cos ''x''=''x'' egyenlet egyetlen gyökét közélítjük.
==Lásd még==
*[[Fixponttételek]]
*[[Brouwer-féle fixponttétel]]
==Források==
*Rudin, W. : A matematikai analízis alapjai; Műszaki Könyvkiadó, 1978
*Komornik Vilmos: Valós analízis előadások, TypoTEX, 2003
{{DEFAULTSORT:Banachfixponttetele}}
[[Kategória:Analízis]]
| 