„Gauss-egész” változatai közötti eltérés

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,''i'',-''i''. Ezek az ''egységek'', tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás ''asszociáltjai''nak nevezzük. A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így <math>{\mathbf Z}[i]</math> [[euklideszi gyűrű]]: ha <math>a,b\in{\mathbf Z}[i]</math>, <math>b\neq 0</math> akkor létezik <math>q</math> és <math>r</math>, hogy <math>a=bq+r</math> és <math>N(r)<N(b)</math>. Innen adódik, hogy <math>{\mathbf Z}[i]</math>-ben igaz a [[számelmélet alaptétele]] is: a felbonthatatlan elemek (azon ''p'' nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy ''p''=''xy'' esetén ''x'' vagy ''y'' asszociáltja ''p''-nek) pontosan a prímelemek(azon ''p'' nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy <math>p\mid xy</math> esetén <math>p\mid x</math> vagy <math>p\mid y</math> teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző ''x'' felírható <math>x=\pi_1\cdots\pi_r</math> alakban, ahol <math>\pi_1,\dots,\pi_r</math> prímelemek, továbbá, ha <math>x=\pi'_1\cdots\pi'_s</math> egy másik felírás, akkor <math>s=r</math> és a tényezők úgy indexezhetők, hogy <math>\pi'_j</math> asszociáltja <math>\pi_j</math>-nek.