Főmenü megnyitása

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

MűveletekSzerkesztés

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az   egyenlőséget:  . E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek  -vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste  . A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

NormaSzerkesztés

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

 

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemekSzerkesztés

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása  . Minden    -beli prímszám  -ben is prím. Ha viszont   prímszám, akkor p felbomlik, mint  , ahol   (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az  ,   Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció:   akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha   prímelem, akkor a mod   maradékosztályok száma  .

Egyértelmű prímfaktorizációSzerkesztés

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így   euklideszi gyűrű: ha  ,  , akkor létezik   és  , hogy   és  . Innen adódik, hogy  -ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon   nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy   esetén x vagy y asszociáltja  -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon   nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy   esetén   vagy   teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható   alakban, ahol   prímelemek, továbbá, ha   egy másik felírás, akkor   és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re   asszociáltja  -nek.

Lásd mégSzerkesztés