Főmenü megnyitása

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel . Az Eisenstein-egészek így -val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a számtestbe eső algebrai egészek.

NormaSzerkesztés

Az   Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

 

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak   esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz   mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímekSzerkesztés

Hat Eisenstein-egész normája egy:  . Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük.   Eisenstein-prím és  . Ha p közönséges prím és   akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és   akkor   egy alkalmas   Eisenstein-prímre. Így például,  .

Egyértelmű prímfaktorizációSzerkesztés

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így   euklideszi gyűrű: ha  ,   akkor létezik   és  , hogy   és  . Innen adódik, hogy  -ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon   nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy   esetén x vagy y asszociáltja  -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon   nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy   esetén   vagy   teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható   alakban, ahol   prímelemek, továbbá, ha   egy másik felírás, akkor   és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re   asszociáltja  -nek.

Lásd mégSzerkesztés

ForrásSzerkesztés

Freud-Gyarmati: Számelmélet