Főmenü megnyitása

Euklideszi gyűrű

kommutatív gyűrű euklideszi algoritmussal

Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.

Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz

 ,

valamint minden   és   számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz

 .[1] Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

PéldákSzerkesztés

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.

  • Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
  • Ha   test, akkor a felette lévő   polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:
 
Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen  . Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy  , hogy   és  . Ha  , akkor  . Egyébként legyen  , és  . Így a   polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan  , hogy  . Ekkor a   és   polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.
  • A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen  . Olyan   számokat keresünk, hogy  . Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy  , ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy  . Az egyenlőség miatt  , ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát  , és keressünk olyan   számokat, hogy  , valamint  , azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig  , akkor készen is vagyunk, mivel  .
  • Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.[2]

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.
Bizonyítás: Legyen   a gyűrű egy ideálja, és   a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy  , azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A   nyilvánvalóan igaz, mivel   tartalmazza   minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges   elemet  -ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy  , ahol  . Ezért  , azaz  , és mivel   minimális volt, ezért   lehetséges csak. Ezért  , emiatt  .[3] A fordítottjára példa az   gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.[4]
  • Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
  • Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
  • Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.

ForrásokSzerkesztés

  1. Fried Ervin. Algebra II 
  2. Király Bertalan, Dr. Orosz Gyuláné. „Egy euklideszi gyűrű”. Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, 71-76. o.  
  3. Kiss W. Emil: Algebra 3 előadás jegyzete. [2015. szeptember 23-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2015. február 25.)
  4. Kiss Emil. Bevezetés az algebrába, 294. o.