Főideálgyűrű

A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a főideálgyűrű olyan integritási tartomány, amelyben minden ideál főideál, azaz egyetlen elem generálja. A főideálgyűrű kifejezést az angol principal ideal domain elnevezés alapján gyakran PID-nek rövidítik.

Bizonyos szövegekben főideálgyűrű alatt olyan gyűrűt (és nem feltétlenül integritási tartományt) értenek, amiben minden ideál főideál. Ebben az esetben az angol principal ideal ring alapján a PIR rövidítés használatos. Ebben a szócikkben főideálgyűrűk alatt mindig integritási tartományt értünk.

A főideálgyűrűk az egész számok közeli általánosításai: igaz bennük a számelmélet alaptétele és bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, habár azt nem feltétlenül lehet euklideszi algoritmussal előállítani. (Az olyan gyűrűt, amikben az euklideszi algoritmus működik, euklideszi gyűrűnek nevezzük; minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű.)

PéldákSzerkesztés

  • Bármely   test.
  • A   polinomgyűrű, ahol   test. A megfordítás is igaz: ha   PID, akkor   test.
  • Az egész számok   gyűrűje.
  • A Gauss-egészek   gyűrűje.
  • Az Eisenstein-egészek   gyűrűje, ahol   primitív harmadik egységgyök.
  • Bármely diszkrét értékelésgyűrű, például a p-adikus egészek   gyűrűje.

Nem főideálgyűrűk a következők:

  • A   polinomgyűrűben a   ideál nem generálható egyetlen elemmel.
  • A   polinomgyűrű (  test): az   ideál nem generálható egyetlen elemmel.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Ha   PID és  , akkor a legnagyobb közös osztójuk az   ideál generátorelemeként kapható meg.
  • Minden alaptételes gyűrű (UFD) főideálgyűrű, de a megfordítás nem igaz:   UFD, de nem PID.
  • Minden főideálgyűrű Dedekind-gyűrű, ugyanis Noether-tulajdonságú, minden nemnulla prímideál maximális (ennek megfordítása általánosan is igaz) és egészre zárt.
  • Egy integritási tartomány akkor és csak akkor PID, ha minden prímideál főideál.
  • A főideálgyűrűk pontosan az alaptételes Dedekind-gyűrűk.

További információkSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Principal ideal domain című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.