Algebrai egész szám

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely zérushelye egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is. Az algebrai egészek tanulmányozásával foglalkozó tudományág az algebrai számelmélet.

PéldákSzerkesztés

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis  , akkor gyöke az   polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az   polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés   arányszáma, mert  .

EllenpéldákSzerkesztés

Nem algebrai egész a  , hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az  . Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az   gyöke az   egész együtthatós polinomnak. Akkor

 

és így

 

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tényekSzerkesztés

Ha   algebrai egész, akkor   szintén algebrai egész. Ha ugyanis   kielégíti a   1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor   kielégíti a   1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az  -re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy   akkor és csak akkor racionális, ha   egy természetes szám  -adik hatványa. Speciálisan   nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az   nem az.

ForrásokSzerkesztés

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK