Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely zérushelye egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is.

PéldákSzerkesztés

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis  , akkor gyöke az   polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az   polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés   arányszáma, mert  .

EllenpéldákSzerkesztés

Nem algebrai egész a  , hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az  . Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az   gyöke az   egész együtthatós polinomnak. Akkor

 

és így

 

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tényekSzerkesztés

Ha   algebrai egész, akkor   szintén algebrai egész. Ha ugyanis   kielégíti a   1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor   kielégíti a   1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az  -re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy   akkor és csak akkor racionális, ha   egy természetes szám  -adik hatványa. Speciálisan   nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az   nem az.

ForrásokSzerkesztés

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK