Algebrai számelmélet

Az algebrai számelmélet a számelmélet és így a matematika egy részterülete.

Az algebrai számelmélet a racionális egész illetve racionális számok helyett számtestekkel, azaz a racionális számok testének véges bővítéseivel foglalkozik. Ha egy számtest, akkor vizsgálható a -beli algebrai egészek gyűrűje: ez egész lezártjaként áll elő. Konkrétan fogalmazva -ra

,

valamely és mellett, azaz gyöke egy egész együtthatós (nem konstans 0) polinomnak. Az így kapott gyűrű Dedekind-gyűrű, és mint ilyen, számos tekintetben -hez hasonlóan viselkedik, ugyanakkor bizonyos tulajdonságok csak gyengébb formában érvényesek. Például Dedekind-gyűrűkben nem feltétlenül létezik az elemek prímelemekre való egyértelmű felbontása (azaz nem feltétlenül teljesül a számelmélet alaptétele), viszont az ideálok mindig egyértelműen felbonthatók prímideálok szorzatára (tehát az alaptétel ideálokra teljesül).

Számtestek helyett általánosabban beszélhetünk globális testekről is: ebben a fogalomba a számtestek mellett véges bővítéseit – az úgynevezett függvénytesteket – is beleértjük, ahol egy racionális prímszám. A számtestek és függvénytestek között alapvető különbség, hogy utóbbiak karakterisztikája véges. Ugyanakkor a globális testek két típusa között számos analógia is fennáll. Egy globális test közvetlen vizsgálata helyett gyakran eredményesebb a hozzá tartozó lokális testekkel foglalkozni, és az így kapott eredményekből a lokál–globál-elven keresztül eljutni egy a globális testre vonatkozó eredményhez. Ez az eljárás a racionális számok (mint globális test) esetében a p-adikus számok (mint lokális testek) vizsgálatát jelenti.

Alapvető fogalmakSzerkesztés

Az egyértelmű prímfelbontás hiányaSzerkesztés

Legyen   egy integritási tartomány. Egy   elemet akkor mondunk prímnek, ha

  vagy  .

Ez a definíció a racionális egészek gyűrűjében a prímszámokénál gyengébb definíciót ad:   prímelemei pontosan a prímszámok és a prímszámok ellentettjei. Ez annak az általános állításnak a speciális esete, hogy ha   prímelem és   egység, akkor   is prímelem (a racionális egészek körében   az egységek).

Egy   elemet irreducibilisnek (felbonthatatlannak) nevezünk, ha

  vagy  ,

azaz  -nek nincs nemtriviális faktorizációja. Általában minden prímelem irreducibilis, de a fordított irányú implikáció nem igaz.

Azt mondjuk, hogy  -ben teljesül a számelmélet alaptétele (azaz   alaptételes gyűrű, illetve az angol unique factorisation domain rövidítéseként UFD), ha minden elem sorrend és egységszorzók erejéig felbontható irreducibilis elemek szorzatára. Például   UFD, de általános esetben   nem az. UFD-ben a prím- és az irreducibilis elemek megegyeznek.

Például  -ben 3,   és   irreducibilis elemek, így

 

a 9 két különböző felbontása irreducibilis elemekre. Valóban, ha a két felbontás nem lenne különböző, akkor   egységszerese lenne 3-nak, viszont  -ben a 3-mal osztható elemek   alakúak ( ).

Ideálok felbontása prímideálok szorzatáraSzerkesztés

Ha   egy számtest, akkor   Dedekind-gyűrű, következésképpen bármely   ideál sorrend erejéig egyértelműen felbontható prímideálok szorzatára. Másképp fogalmazva  -ban a számelmélet alaptétele elemek helyett csak ideálokra teljesül.

Speciálisan ha   UFD, akkor minden prímideált egy prímelem generál. Következésképpen   akkor és csak akkor UFD, ha főideálgyűrű. (Általános esetben ez nem áll: ha egy integritási tartomány főideálgyűrű, akkor mindig UFD, de a megfordítás nem feltétlenül igaz.)

OsztálycsoportSzerkesztés

Akkor és csak akkor nincs egyértelmű prímfelbontás, ha a gyűrűben vannak olyan prímideálok, amik nem főideálok. A prímideálok nem-főideálságát méri az osztálycsoport. Ahhoz, hogy csoportstruktúrát kapjunk, az algebrai egészek gyűrűjében vett ideálok helyett egy bővebb halmazzal, a törtideálokkal dolgozunk. A törtideál fogalma az ideálénál általánosabb: egy   részhalmaz akkor törtideál, ha additív részcsoport és zárt az   elemeivel való szorzásra, azaz  . Minden ideál törtideál, és ha   törtideálok, akkor az   szorzatuk is törtideál. A törtideálok ezzel a szorzással csoportot alkotnak, az egységelem  , az inverz  . Az osztálycsoport rendje az osztályszám.

Valós és komplex beágyazásokSzerkesztés

Bizonyos számtestek beágyazhatók a valós számtestbe; mások nem. Előbbire példa  , utóbbira  . Egy ilyen beágyazás nem feltétlenül egyértelmű: a példánál maradva,   kétféleképpen ágyazható be a valós számok testébe: a két beágyazást   illetve   indukálja.

Mivel a komplex számok   teste a racionális számtest algebrai lezártja, minden   számtest beágyazható a komplex számok testébe. A különböző beágyazások száma megegyezik a   fokszámmal. A beágyazások közül valósnak nevezzük azokat, amiknek képe  -ben részhalmaza  -nek; minden más beágyazást komplexnek nevezünk. A komplex beágyazások párokat alkotnak: ha   egy beágyazás, akkor a   konjugált is az, ahol  , és a felülvonás komplex konjugálást jelöl.

A valós beágyazások számát  -gyel, a komplex konjugált beágyazáspárok számát  -vel szokás jelölni. Következik, hogy  .

DiszkriminánsSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy   bővítésben az   elemek egész bázist alkotnak, ha

 .

Minden számtestben létezik egész bázis, és az   Abel-csoport   rangja megegyezik a bővítés   fokával.[1]

Legyen   egy egész bázis, és legyenek   a beágyazások, azaz a   csoport elemei. Ekkor az   bázis diszkriminánsa

 .

Megmutatható, hogy ez nem függ az egész bázis választásától, így beszélhetünk a   számtest diszkriminánsáról.[2]

A fentiekkel analóg módon definiálható számtestek egy   bővítésének relatív diszkriminánsa. A diszkrimináns fontos szereppel bír az elágazáselméletben.

ElágazáselméletSzerkesztés

Tekintsük számtesteknek egy   bővítését. Minden  -beli   prímideál egy  -beli   prímideál fölött helyezkedik el, azaz   egy prímideál. A megfordítás nem igaz: az   egy   prímideálja által generált   ideál nem feltétlenül prím. A fentiek értelmében mind   Dedekind-gyűrű, következésképpen az ideál egyértelműen felírható prímideálok szorzataként, azaz

 

valamely   prímideálokra és   pozitív egészekre. Az   kitevőt ekkor a   elágazási indexének nevezzük. Definiáljuk továbbá   inerciafokát: ez a   hányadostestének mint   hányadosteste feletti testbővítésnek a foka, azaz

 .

Az ezekre vonatkozó fontos összefüggés a fundamentális egyenlet:

 

Azt mondjuk, hogy   elágazik az   bővítésben, ha   valamely  -re; máskülönben   el nem ágazó. Továbbá ha   minden  -re, akkor azt mondjuk, hogy   teljesen felbomlik. Az elágazási viselkedés meghatározásában központi szereppel bír a diszkrimináns: pontosan azok a prímek ágaznak el, amelyek osztják a relatív diszkriminánst. Minkowski-elméleti eszközökkel megmutatható, hogy minden   testbővítés diszkriminánsa 1-nél nagyobb; következésképpen  -nak nincsen elágazásmentes bővítése.

Ha az   bővítés Galois, akkor a   fölötti prímideálok egymás Galois-konjugáltjai. Következésképpen valamennyiük az összes elágazási index megegyezik, és ugyanez igaz az inerciafokokra is.

ZetafüggvénySzerkesztés

Egy számtest Dedekind-féle zetafüggvénye a Riemann-féle zéta-függvény általánosítása számtestekre. Ennek megfelelően a számtest prímideáljainak viselkedését írja le. Egy K számtest Dedekind-zetafüggvényét először azon   komplex számokra definiáljuk, amelyeknek valós része 1-nél nagyobb. Ezekre a zetafüggvényt a következő Dirichlet-sor adja meg:

 

Itt   az   gyűrű nemnulla ideáljain fut végig, és   az ideál abszolút normáját jelöli. Könnyen látható, hogy a   speciális esetben a Riemann-féle zetafüggvényt kapjuk. A sor minden fenti  -re abszolút konvergál.

A Riemann-zetafüggvényhez hasonlóan   is Euler-szorzatalakba fejthető minden  -re:

 

ahol   az   prímideáljain fut végig. Az Euler-szorzatalak az ideálok prímideálok szorzatára való egyértelmű felbontásának egyenes következménye.

Hecke megmutatta, hogy   kiterjeszthető a komplex számsíkra meromorf függvényként, egyetlen egyszerű pólussal az   pontban. Az ebben a pontban vett reziduumot az analitikus osztályszámképlet adja meg – ez az algebrai számelmélet egy központi eredménye.

Főbb eredményekSzerkesztés

Az osztályszám végességeSzerkesztés

Az algebrai számelmélet egyik klasszikus eredménye, hogy egy számtest osztálycsoportja véges. Az osztálycsoport rendjét a számtest osztályszámának nevezzük; ezt gyakran  -val jelölik.

Minkowski-elméletSzerkesztés

Az osztályszám végessége a Minkowski-féle rácselmélet felhasználásával látható be. Ennek felhasználásával egy  -beli ideál felfogható egy  -beli ún. teljes rácsként, aminek a térfogata a diszkrimináns és az ideál indexének függvénye. A teljes rácsok térfogatáról szól Minkowski rácsponttétele, aminek felhasználásával az előbbi térfogatra adható egy egyenlőtlenség. Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi az osztályszám becslését, speciálisan a végesség bizonyítását.[3]

Dirichlet-féle egységtételSzerkesztés

A Dirichlet-féle egységtétel leírja az algebrai egészek   gyűrűjének   egységcsoportját. A tétel szerint   izomorf  -gyel, ahol   a  -beli egységgyökök csoportja,   a   valós beágyazások száma,   pedig a   komplex beágyazások számának fele. Másként megfogalmazva, az egységcsoport egy végesen generált   rangú Abel-csoport, amelynek torziócsoportja pontosan a  -beli egységgyökökből áll.

A tételt a Minkowski-elmélet eszközeivel lehet bizonyítani.

RegulátorSzerkesztés

Legyenek   az   szabad részének egy bázisa; ezek létezését a Dirichlet-féle egységtétel garantálja. Legyenek   a valós,   a komplex beágyazások. Legyen  , ha  , azaz ha   valós, és  , ha  , azaz ha   komplex. Ekkor a   számtest regulátora

 .

Vegyük észre, hogy a mátrixból kihagytuk az  -edik beágyazáshoz tartozó sort, és így kaptunk négyzetes mátrixot. A regulátor értéke független a kihagyott beágyazástól, valamint a beágyazások illetve az egységek sorrendjétől (a külső abszolútértéknek köszönhetően).[4]

A regulátor megközelíthető a Minkowski-elmélet felől is.[5] Ekkor az   egységcsoport képe  -ben egy rács lesz, amelynek térfogata a regulátorral arányos. Következésképpen minél kisebb a regulátor, annál „több” egység van az   gyűrűben, azaz annál „sűrűbben” helyezkednek el az  -beli egységek képei az   Minkowski-térben.

Analitikus osztályszámképletSzerkesztés

Az analitikus osztályszámképlet egy   számtest   Dedekind-zetafüggvényének   helyen vett reziduumát adja meg.

 

A jobb oldalon szereplő számok a következők:

Általánosságban az osztályszám kiszámítása nehéz kérdés; a fenti képlet részben azért jelentős, mert ezen keresztül az osztályszám meghatározása visszavezethető más invariánsok meghatározására. A bal oldalon álló reziduum kiszámításához egy lehetséges út lehet a számtest prímideáljainak leírása, majd a zetafüggvény Euler-szorzatalakon keresztüli felírása.[6]

A fenti képlet általánosan igaz valamennyi számtestre. Bizonyos speciális számtestek esetén ennél könnyebben kezelhető képletek is léteznek. Például kvadratikus számtestek (azaz a racionális számok másodfokú algebrai bővítései) esetén az osztályszám meghatározható a diszkrimináns és egy Dirichlet-karakter ismeretében; ez az úgynevezett Dirichlet-osztályszámképlet.[7]

Ennél nagyobb általánosságban is beszélhetünk „analitikus képletekről” az algebrai számelméletben és az aritmetikai geometriában. Ezek közös vonása, hogy a vizsgált objektum valamely aritmetikai invariánsa és egy analitikus függvény   helyen vett értéke közötti összefüggést adnak meg, néhány további, jellemzően viszonylag egyszerű tényező erejéig. A fenti esetben a vizsgált objektum a   számtest, az aritmetikai invariáns az osztályszám és a regulátor szorzata, az említett analitikus függvény  , a további tényezők pedig  ,   és  . Egy aritmetikai geometriai példa a Birch és Swinnerton-Dyer-sejtés. Abban a speciális esetben, amikor a Mordell–Weil-csoport véges, az aritmetikai invariáns a Tate–Safarevics-csoport rendje, az analitikus függvény pedig a Hasse–Weil-féle L-függvény lesz.[8]

Reciprocitási tételek és osztálytest-elméletSzerkesztés

A kvadratikus reciprocitási tételhez analóg módon vizsgálható, hogy egy egész együtthatós,   felett irreducibilis polinom mikor bomlik lineáris faktorokra a moduló p, vagyis a   polinomgyűrűben. A kvadratikus reciprocitás esetében a vizsgált polinom  . Egy további példa a körosztási reciprocitási tétel:

A   körosztási polinom akkor és csak akkor bomlik lineáris faktorokra moduló p, ha  .

Az általános kérdést Abel-polinomok (olyan polinomok, amiknek Galois-csoportja Abel) esetében az osztálytest-elmélet vizsgálja; a vonatkozó tétel Artin-reciprocitás néven ismert.[9]

Kronecker–Weber-tételSzerkesztés

A Kronecker–Weber-tétel szerint minden Abel-számtest beágyazható egy körosztási testbe. Pontosabban ha   egy véges Galois-bővítés, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan   egész, melyre  . Itt   az  -edik egységgyökök csoportját jelöli,   az  -edik körosztási test.[10]

A tétel arra mutat rá, hogy a   feletti Abel-bővítések elméletében a körosztási testek játsszák az alapvető építőkövek szerepét. Ez azért hasznos, mert így a körosztási testek viszonylag részletesen ismert tulajdonságaiból lehet következtetni más Abel-bővítések tulajdonságaira.

A tételnek létezik egy lokális verziója is – sőt, a tétel egyik lehetséges bizonyításában először ezt a lokális verziót igazolják elágazáselméleti eszközökkel, majd a globális Kronecker–Weber-tétel bizonyítását visszavezetik a lokális esetre.[10] A lokális Kronecker–Weber-tétel állítása a következő: ha   a p-adikus számok   testének egy véges Galois-bővítése, amelynek Galois-csoportja egy Abel-csoport, akkor létezik egy olyan   egész, melyre  .[11]

A tétel az osztálytest-elméleten keresztül is bizonyítható.[12]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Zábrádi 2020 3.2.6.
  2. Zábrádi 2020 3.2.9.
  3. Zábrádi 2020 §§3.4–5
  4. Washington 1997 p. 41
  5. Neukirch 1992 Chapter I, (7.5) Proposition
  6. Neukirch 1992 p. 467ff.
  7. Tian §7.5
  8. Mazur 2020
  9. Wyman 1972 §§1–4
  10. a b Zábrádi 2020 §5.2
  11. Zábrádi 2020 §4.7
  12. Wyman 1972 p. 579

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraische Zahlentheorie című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Algebraic number theory című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekind zeta function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.