Polinomok számelmélete

A polinomok számelmélete, a matematika algebrai számelmélet nevű ága egyik fejezeteként, olyan számelméleti eredetű fogalmakat vizsgál és általánosít polinomokra, mint pl. az oszthatóság, az irreducibilitás és reducibilitás (felbonthatatlanság és felbonthatóság), a maradékos osztás, a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös vagy a prímfaktorizáció.

Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek

Az egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok tekinthetők olyan véges sok nem nulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

$x^{2}+5x+6\cong (6,5,1,0,0,0,0,\dots )$

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legnagyobb nem nulla indexe (az indexelést 0-ról indítjuk). Például, ha a ∈ R nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,…) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,…) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legnagyobb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

Összeadás

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

$(p+q)_{i}=p_{i}+q_{i}\,$

Például

$(x^{3}-5x+10)+(2x^{3}-x^{2}+x-10)=3x^{3}-x^{2}-4x\,$

Szorzás

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

$p\cdot q={\begin{matrix}p_{0}q_{0}&p_{0}q_{1}&p_{0}q_{2}&p_{0}q_{3}&\dots \\p_{1}q_{0}&p_{1}q_{1}&p_{1}q_{2}&\dots \\p_{2}q_{0}&p_{2}q_{1}&\dots \\p_{3}q_{0}&\dots \\\dots \end{matrix}}=$

$=(p_{0}q_{0},\quad p_{0}q_{1}+p_{1}q_{0},\quad p_{0}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{0},\dots )=\left(\sum \limits _{k=0}^{i}p_{k}q_{i-k}\right)_{i\in \mathbb {N} }$

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni. Például

${\begin{alignedat}{2}(x^{3}-5x+10)\cdot (2x^{3}-x^{2}+x-10)&=(x^{3}\cdot 2x^{3})+(x^{3}\cdot (-x^{2}))+(x^{3}\cdot x)+(x^{3}\cdot (-10))+\\&+((-5x)\cdot 2x^{3})+((-5x)\cdot (-x^{2}))+((-5x)\cdot x)+((-5x)\cdot (-10))+\\&+(10\cdot 2x^{3})+(10\cdot (-x^{2}))+(10\cdot x)+(10\cdot (-10))=\\&=2x^{6}-x^{5}-9x^{4}+15x^{3}-15x^{2}+60x-100\end{alignedat}}$

Polinomgyűrű

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test.

R[X] a fenti két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nem nulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

Maradékos osztás

Gyűrű felett

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmesen definiálható a maradékos osztás művelete az alábbi korlátozott módon.

Minden a,b ∈ R[X]-re, ha b főegyütthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,r ∈ R[X], hogy

1. $a=q\cdot b+r\,$ és

2. $\mathrm {deg} (r)<\mathrm {deg} (b)\,$ vagy $r=0\,$

Például Z[X]-ben x³ + x = x$\cdot$x² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3$\cdot$(x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindkettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolút érték, Z[X]-ben viszont a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

Test felett

Ha T kommutatív test, akkor minden a, b ∈ T[X]-re, egyértelműen létezik olyan q, r ∈ T[X], hogy

1. $a=q\cdot b+r\,$ és

2. $\mathrm {deg} (r)<\mathrm {deg} (b)\,$ vagy $r=0\,$

Számelméleti tulajdonságok

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú avagy egyváltozós polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

$f(x)=g(x)\cdot h(x)\,$

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradékul.

Az oszthatóság tulajdonságai

• $\,\!f(x)|g(x)$ és $\,\!g(x)|h(x)$ akkor $\,\!f(x)|h(x)$
• $\,\!f(x)|g(x)$ akkor $\,\!f(x)|g(x)h(x)$ ha $h(x)\neq 0$
• $\,\!f(x)|g_{1}(x)$ és $\,\!f(x)|g_{2}(x)$ akkor $\,\!f(x)|g_{1}(x)h_{1}(x)+g_{2}(x)h_{2}(x)$ ahol $\,\!h_{1}(x)$ és $\,\!h_{2}(x)$ tetszőlegesek.
• $\,\!f(x)|g(x)$ akkor $\,\!f(x)|cg(x)$ és $\,\!cf(x)|g(x)$ ahol $\,\!c$ tetszőleges, második esetben nemnulla konstans.
• Ha $\,\!f(x)|g(x)$ és $\,\!g(x)|f(x)$ akkor $\,\!f(x)=cg(x)$

Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

$\,\!h(x)$-re azt mondjuk, hogy $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ közös osztója, ha $\,\!h(x)$ osztója $\,\!f(x)$-nek és $\,\!g(x)$-nek Egy $\,\!d(x)$ polinomot az $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha $\,\!d(x)$ $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ közös osztója, valamint osztható $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ bármely közös osztójával. Jelölés: $\,\!d(x)=(f(x),g(x))$

Hasonló módon $\,\!h(x)$-re azt mondjuk, hogy $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ közös többszöröse, ha $\,\!h(x)$-nek osztója $\,\!f(x)$-nek és $\,\!g(x)$ is. Egy $\,\!e(x)$ polinomot az $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha $\,\!e(x)$ $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ közös többszöröse, valamint osztja $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ bármely közös többszörösét.

Tulajdonságok

Tetszőleges $\,\!f(x)$ és $\,\!g(x)$ polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi algoritmus a polinomok körében is működik.

Irreducibilis polinomok

Egy n-edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek.

Állítások irreducibilis polinomokra:

• Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
• Ha $\,\!f(x)$ irreducibilis, akkor tetszőleges $c\neq 0$ konstans esetén $\,\!cf(x)$ is az.
• Ha $\,\!p(x)|f(x)g(x)$ és $\,\!p(x)$ irreducibilis, akkor $\,\!p(x)|f(x)$ vagy $\,\!p(x)|g(x)$.
• Minden $\,\!f(x)$ polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots p_{n}(x)$ irreducibilis polinomok, hogy $f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)\dots p_{n}(x)$ teljesül.

Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például

• az $\,\!x^{2}-2$ polinom a racionális számok teste felett irreducibilis, a valósaké felett pedig nem:

$x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})\cdot (x-{\sqrt {2}})$

• az $\,\!x^{2}+2$ polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexeké felett pedig nem:

$x^{2}+2=(x+{\sqrt {2}}i)\cdot (x-{\sqrt {2}}i)$

Faktorizálás

A faktorizálás során a polinomot irreducibilis polinomok szorzatára alakítjuk át.