Főmenü megnyitása
, tehát három sorban és négy oszlopban 12 pont helyezhető el

Szorzás vagy sokszorozás, a számtani alapműveletek egyike. Ha a és b pozitív egész számokat jelentenek, akkor b-t megszorozni a-val annyit tesz, mint alkotni a

összeget, amelyet röviden ab-vel szokás megjelölni. A b számot, amelyet ezen összeg előállítása végett a-szor tettünk összeadandónak, sokszorozandónak vagy szorzandónak, az a számot sokszorozónak vagy szorzónak, az eredményül nyert összeget pedig szorzatnak nevezzük.

Bebizonyítható, hogy

Minthogy a szorzandó felcserélhető a szorzóval anélkül, hogy a szorzat értéke ennek következtében megváltoznék, még az elnevezésben sem szükséges azokat egymástól megkülönböztetni és ezért mind a kettőt a szorzat tényezőinek nevezzük. Több pozitív egész szám szorzatát úgy alkotjuk, hogy az elsőt megszorozzuk a másodikkal, a nyert szorzatot a harmadikkal stb:

A kommutativitás miatt az ilyen szorzat értéke is független a megadott tényezők sorrendjétől.

A szorzás megfordítása az osztás.

Ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell. Különféle számhalmazokon úgy szokás definiálni, hogy a szorzás jelentése ne változzon, ha az újabb számhalmazt a régebbi kibővítésének tekintjük. A szorzás természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Tartalomjegyzék

ÁltalánosításSzerkesztés

A szorzás kétváltozós műveletként általánosítható más algebrai struktúrákra, például mátrix- és függvényhalmazokra is. A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de nem kommutatív.

JelölésekSzerkesztés

A szorzást számok esetén szorzóponttal vagy szorzókereszttel jelölik:

  (Kétszer három az hat)
 
 
 

vagy

 
 
 
 
  • Egymás után írás; ez az algebrában szokásos, és mindenütt, ahol betűjelölések szerepelnek. Például xy vagy 5x.
  • Vektorok esetén kétféle szorzást is értelmeznek: a skaláris és a vektoriális szorzást. A skaláris szorzatot szorzópont, a vektoriális szorzatot szorzókereszt jelöli.
  • Programnyelvekben a * csillag a szorzójel. Ezt azért választották így, mert minden billentyűzeten rajta van, és jobban látszik a régi képernyőkön. Ez a FORTRAN programozási nyelvből ered.

AlgoritmusokSzerkesztés

Az írásbeli szorzás szokásos módja a szorzótábla ismeretét igényli, de van olyan módszer is, ami anélkül is működik.

A nagy számok kézzel való szorzása időigényes és sok hibalehetőséget hordoz magában. Ennek megkönnyítésére használják a tízes alapú logaritmust. Logarléccel három számjegyes pontossággal lehet szorozni. A huszadik század elején a mechanikus számológépek, mint például a Marchant 10 számjegyes pontosságot is lehetővé tettek. A modern elektromos számológépek és a számítógépek nagyban csökkentették a kézi számítások iránti igényt.

Történelmi algoritmusokSzerkesztés

Különböző módszerek maradtak fenn az ókori Egyiptomból, Babilonból, Görögországból, az Indus-völgyből és Kínából.

EgyiptomSzerkesztés

Az egyiptomi módszer a Jahmesz által írt Rhind-papirusz szerint sorozatos kétszerezésen, felezésen és összeadáson alapul. Például a 13 és a 21 összeszorzásához háromszor kétszerezték meg a 21-et:

 ,  ,  ,  .

A 13-at háromszor elfelezték:

 , marad  ;  , nem marad semmi;  , marad az  .

A szorzatot a megfelelő kétszerezések összegeként állították elő:

 .

BabilonSzerkesztés

Babilonban a hatvanas számrendszert használták, hasonlóan a mai tízes számrendszerhez. A szorzás a mai tízes számrendszerbeli szorzáshoz hasonlóan működött. Mivel nehéz emlékezni a   szorzatra, ezért a babiloni matematikusok szorzótáblázatokat használtak. Ezek a táblák tartalmazták egy szám első húsz szorzatát, amit a szám tízszereseinek szorzatai követtek. Egy szorzás végrehajtásához, például az   kiszámításához külön kellett összeszorozni 50-nel és 3-mal, majd ezeket a szorzatokat összeadni.

KínaSzerkesztés

A Zhou Pei Suan Ching (Kr.e. 300-nál korábbról) és Kilenc fejezet a matematika művészetéről matematikai könyvekben a számítások szavakkal vannak leírva. Ismert viszont, hogy az ókori kínai matematikusok abakuszt használtak a számítások elvégzéséhez.

Indus-völgySzerkesztés

 
A 45 és a 256 szorzata. Vegyük észre, hogy a 45 számjegyei fordított sorrendben helyezkednek el a bal oszlopban.

Az Indus-völgye korai hindu matematikusai számos intuitív módszert alkalmaztak a szorzásra. A számolásokat általában kis palatáblákon végezték.

Modern módszerSzerkesztés

A modern módszer az arab számíráson és a tízes számrendszeren alapul. Brahmagupta módszert adott az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletére; ő írta le elsőként a modern módszert.

Henry Burchard Fine, a Princeton matematikaprofesszora szerint az indiaiak nemcsak a helyi értékes tízes számrendszert fedezték fel, hanem az ahhoz tartozó alapvető eljárásokat is.[1]

SzorzássorozatSzerkesztés

JelölésSzerkesztés

A szorzássorozat jele a görög nagy Π betűből származik. Az Unicode-ban is megkülönböztetik ezt a két jelet: U+220F (∏) jelöli a szorzássorozat jelét, és U+03A0 (Π) a betűt. Ez a jelölés a következőt jelenti:

 

ahol az alsó index mutatja a futó változót, és annak alsó határát, míg a felső index a felső határt jelöli. A futó index az alsó határtól egyesével megy el egészen a felső határig. A szorzássorozat jele után következnek a tényezők, amik a futó index egymást követő értékeit behelyettesítve kaphatók.

Például

 

Olvasd: Produktum i=2-től 6-ig, zárójelben az 1+1/i egyenlő...

Ha az alsó határ egyenlő a felső határral, akkor a szorzat egy tényezős, és értéke ez a tényező. Ha az alsó határ nagyobb, mint a felső, akkor a szorzat üres, és értéke definíció szerint 1.

Végtelen szorzatSzerkesztés

Végtelen sok tényező is összeszorozható, így végtelen szorzat keletkezik. A jelölésben a felső határt  , az alsó határt   jelölheti. A végtelen szorzat értéke

 

feltéve, hogy a határérték létezik.

A mindkét irányban végtelen szorzat értéke

 

feltéve, hogy a határértékek léteznek.

ÉrtelmezésSzerkesztés

Descartes-szorzatSzerkesztés

A szorzás ismételt összeadásként való értelmezése egyenes utat biztosít a szorzás halmazelméleti értelmezéséhez a számosságok körében.

A   kifejezésben a n másolatát adjuk össze. Ennek egyik módja az indexelés, ahol  , így a diszjunkt példányait uniózzuk össze. Ez éppen az   Descartes-szorzat. A természetes számok szorzásának tulajdonságai azonnal adódnak a Descartes-szorzás megfelelő tulajdonságaiból.

Peano-axiómákSzerkesztés

Giuseppe Peano javasolta a Peano-axiómákon alapuló következő definíciót:[2]

 
 

ahol b′ jelöli b rákövetkezőjét. A többi Peano-axióma segítségével bizonyíthatók a szorzás ismert tulajdonságai.

HalmazelméletSzerkesztés

A halmazelmélet segítségével is lehetséges rekurzív definíciót adni a szorzásra, bár ez bonyolult. Ez a definíció visszanyúlik a Peano-féle definíciókhoz.

GeometriaSzerkesztés

A párhuzamos szelők tétele lehetőséget ad rá, hogy két adott hosszúságú szakasz hosszának szorzatával megegyező hosszúságú szakaszt szerkesszünk.

Különböző számkörökSzerkesztés

A szám jelenthet mennyiséget (3 alma), sorszámot (a harmadik alma), vagy mértéket (3,5 méteres magasság). Ahogy a történelemben a matematika az ujjakon való számlálástól a kvantummechanikáig, úgy terjeszkedett a szorzás az egyre elvontabb számkörök és más matematikai objektumok (polinomok, mátrixok) felé.

Egész számokSzerkesztés

Az egész számok szorzásának szabálya a természetes számok szorzásának szabályaiból és az előjelszabályból következik:

Ha az M és az N egész mindegyike pozitív, akkor   egy olyan tömbben levő elemek számát jelöli, ahol minden oszlopban M, és minden sorban N elem van.

Az előjelszabály szerint

 

és

 

Ugyanez az előjelszabály érvényes a racionális és a valós számok szorzására.

Racionális számokSzerkesztés

A törtek szorzásának szabálya: számlálót számlálóval, és nevezőt nevezővel szorzunk:

 .

Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami   hosszú és   széles.

Valós számokSzerkesztés

Két valós szám szorzatát határértékként adhatjuk meg: (x·y) az a valós szám, ami megkapható egy x-hez és egy y-hoz konvergáló sorozat megfelelő elemeinek összeszorzásával keletkezett újabb sorozat határértékeként. Képletekkel felírva ugyanez: ha   és   két sorozat, és

 

és

 

akkor

 

Pozitív valós számok esetében a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami x hosszú és y széles.

Komplex számokSzerkesztés

A   és a   komplex számot az   és az   valós számpárokként tekintve   és   szorzata a következőképpen adódó komplex szám:

 

mert ha az i imaginárius egységgel írjuk fel

 
 
 
 

ahol kihasználtuk, hogy

 

Ez a szorzatkifejezés valós számokra egyszerűen  -vel azonos, mivel valós számok esetében a b1 és b2 képzetes részek nullák.

Polinomok és mátrixokSzerkesztés

A szorzás a számokon kívül polinomokra és mátrixokra is kiterjeszthető. A polinomok és adott n-re az n×n-es mátrixok gyűrűt alkotnak, ahol lehet összeadni, kivonni és szorozni. A polinomszorzás kommutatív, de a mátrixszorzás nem.

Absztrakt algebraSzerkesztés

CsoportokSzerkesztés

Sok halmaz a szorzással megfelel a csoport definíciójának. Ezek az asszociativitás, az egységelem és az inverzek megléte, és a halmaz zártsága a műveletekre.

Egy egyszerű példa a nem nulla valós számok halmaza. Az egységelem az 1. A nullát azért kell kizárni, mert nincs inverze: nincs olyan szám, amivel megszorozva a nullát 1-et kapunk. Ez a példa egy kommutatív, azaz Abel-csoport.

Nem minden csoport kommutatív. Nézzük például az adott méretű invertálható mátrixok csoportját egy adott test felett. Az egységelem az identitásmátrix, az inverzek a mátrixinverzek, és a szorzásra való zártság is teljesül. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, ezért ez a csoport nem kommutatív.

Az egész számok halmaza nem csoport a szorzásra, még a nulla nélkül sem, mert az 1-en és a -1-en kívül nincsenek inverzek.

A csoportelméletben a szorzást ponttal, vagy egymás mellé írással jelölik. Így az a és a b elemek szorzata ab vagy  

GyűrűkSzerkesztés

A gyűrű egy másik algebrai struktúra, amiben szorozni lehet. Lehet még összeadni és kivonni is. A gyűrűkben nincs minden elemnek (multiplikatív) inverze: például a nullelemnek nincs, és ha a gyűrűben vannak nullosztók, akkor azoknak sincs. A legegyszerűbb példák gyűrűkre az egész számok, a polinomgyűrűk és a mátrixgyűrűk.

A kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűk az integritási tartományok. Erre a legegyszerűbb példa az egész számok. Itt megtörténhet, hogy az   elemnek nincs inverze, de   definiálható az   egyenlet megoldásaként.

FerdetestekSzerkesztés

A ferdetestek olyan gyűrűk, amikben minden nem nulla elemnek van inverze. A legegyszerűbb nem kommutatív példát a kvaterniók adják. Ha a szorzás nem kommutatív, akkor nem lehet egyetlen osztás műveletet bevezetni, mivel

 

és az   hányados nem egyértelmű.

HatványozásSzerkesztés

Az ismételt szorzás hatványozást eredményez. Például a   hármas szorzat 2 harmadik hatványa, és  -ként írható. Ebben a példában 2 az alap, és 3 a kitevő. Általában a felső indexbe írt kitevő jelöli azt, hogy az alap hány tényezős szorzatát kell venni.

Így az a alapot n-szer szorozzuk össze:

 

Lásd bővebben: Hatvány

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Henry B. Fine. The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically, (2nd edition, with corrections, 1907), page 90, http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf
  2. PlanetMath: Peano-aritmetika

Külső hivatkozásokSzerkesztés