Osztálytestelmélet

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. augusztus 5.

Az osztálytestelmélet a matematika, azon belül az algebrai számelmélet egyik részterülete, ami bizonyos testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. (Egy Abel-bővítés olyan Galois-bővítés, aminek a Galois-csoportja Abel-csoport.) A racionális számok esetében az Abel-bővítéseket a Kronecker–Weber-tétel írja le; az osztálytestelmélet egyik motivációja ennek kiterjesztése minden számtestre, azaz a racionális számok véges bővítéseire. Az elmélet részét képezik továbbá bizonyos reciprocitási tételek, amiket a kvadratikus reciprocitási tétel általánosításaiként is fel lehet fogni, bár az előbbi és utóbbi közötti kapcsolat elsőre nem magától értetődő.[1]

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseit vizsgálja; ebből a lokál-globál elven keresztül lehet eljutni a globális testek bővítéseit leíró globális osztálytestelmélethez. Ez a két eset, tehát a lokális illetve globális elmélet klasszikusnak tekinthető. Az elmélet bizonyos elemei kiterjeszthetők magasabb dimenziós lokális testekre: ez a magasabb osztálytestelmélet. Léteznek továbbá algebrai geometriai megfelelők is, ezekkel a geometriai osztálytestelmélet foglalkozik. Nem feltétlenül Abel-bővítések esetében az elmélet jelentősen bonyolultabbá válik: részben ezzel a kérdéssel foglalkozik a Langlands-elmélet.

Lokális osztálytestelmélet

szerkesztés

A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. Két fő tétele a reciprocitási tétel és az egzisztenciatétel. Ezek bizonyítása történhet az adott lokális test Tate-kohomológiájának vizsgálatán vagy a Lubin–Tate formális csoportok elméletén keresztül; ez a két bizonyítási mód egymástól független. A kohomologikus megközelítés előnye az absztrakt tárgyalásmód, a Lubin–Tate-féle megközelítés pedig valamivel explicitebb konstrukciót tesz lehetővé.

Reciprocitási tétel. Ha K egy lokális test, és L/K egy Abel-bővítés, akkor létezik egy

 

rövid egzakt sorozat, ahol   a norma,   pedig az úgynevezett norma-maradékszimbólum.[2] A norma-maradékszimbólum funktoriális.[3]

A reciprocitási tétel tehát megad egy izomorfizmust az   Abel-bővítés Galois-csoportja és a   faktorcsoport között. Ezzel részben leírja a K lokális test Abel-bővítéseit, ugyanakkor nem válaszolja meg azt a kérdést, hogy mely csoportok állnak így elő. Erről szól a következő tétel:

Egzisztenciatétel. Az   leképezés egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K lokális test Abel-bővítései és a K-beli normacsoportok hálói között.[4] (A normacsoportok a   multiplikatív csoport azon részcsoportjai, amelyek   alakúak valamely   normális bővítésre.)[5] Egy normacsoportot tartalmazó részcsoport is normacsoport, és   normacsoportjai pontosan a véges indexű nyílt részcsoportok.[6]

Globális osztálytestelmélet

szerkesztés

A globális osztálytestelmélet a globális testek Abel-bővítéseit írja le. Az elmélet állításait technikai szempontból természetes a test idèle-eire vonatkozóan megfogalmazni. Emellett létezik az elméletnek egy klasszikus ideálelméleti megfogalmazása is: ez ugyan kevésbé természetes, viszont elemibb tárgyalásmódot tesz lehetővé.

Idèle-elméleti megközelítés

szerkesztés

Ehhez a tárgyalásmódhoz először szükséges bevezetni az idèle osztálycsoport fogalmát. Ha K egy globális test és v a K egy helye, akkor jelölje Kv a v-nél vett teljessé tételt. Jelölje Uv a Kv egységcsoportját: nemarchimédeszi v esetén ez az értékelésgyűrű egységeinek   csoportja, arkhimédeszi v-re pedig  . A K test idèlecsoportja a következő:

 ,

azaz JK a   csoportok megszorított direkt szorzata az   csoportokra nézve. A   beágyazások indukálnak egy   beágyazást; ennek képe a főidèlecsoportja. A CK idèle osztálycsoport az ezzel vett hányadoscsoport, azaz  .[7]

Reciprocitási tétel. Ha L/K globális testek egy Abel-bővítése, akkor az

 

sorozat rövid egzakt, ahol   illetve   az L illetve K idèle osztálycsoportja.[8] Az   norma-maradékszimbólum funktoriális,[9] és érvényes rá a Hasse-elv, azaz egyértelműen megfelel az L/K globális bővítéshez tartozó lokális bővítésekhez rendelt norma-maradékszimbólumok kollekciójának.[10]

Egzisztenciatétel. Az   egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K globális test Abel-bővítései és a  -beli normacsoportok hálói között.[11] Az idèle osztálycsoport normacsoportjai pontosan a véges indexű zárt részcsoportok.[12]

Ideálelméleti megközelítés

szerkesztés

Ez a megközelítés a számtestek divizorainak fogalmát használja. A K számtest egy divizora egy egész ideál és arkhimédeszi helyek egy négyzetmentes szorzatának formális szorzata, azaz egy   szorzat, ahol   prímideálok, ei nemnegatív egészek és wj különböző végtelen helyek; az egyes szorzatok akár üresek is lehetnek.[13]

Egy   divizor általánosított osztálycsoportja az   hányadoscsoport. Itt   az  -hez relatív prím törtideálok Abel-csoportja,

 ,

azaz   azon   törtideálokból álló részcsoport, amik kongruensek 1-gyel moduló  , és   pozitív minden valós wj-hez tartozó beágyazás alatt.[14]

Reciprocitási tétel. Ha   egy véges Abel-bővítés, akkor létezik a K testnek egy   divizora (a minimális ilyen  -et a bővítés kondoktorának nevezik), hogy

  • Egy véges vagy végtelen prím akkor és csak akkor ágazik el  -ban, ha osztja  -et.
  • Ha   a K egy divizora és  , akkor létezik  -nek egy H részcsoportja úgy, hogy   és  , ahol az izomorfizmust az úgynevezett Artin-leképezés adja meg. Sőt H konkrétan megadható mint  .[15]

Egzisztenciatétel. Ha   a K egy divizora és H az   egy részcsoportja úgy, hogy  , akkor egyértelműen létezik egy   Abel-bővítés, ami legfeljebb az  -et osztó prímekben ágazik el,   és  .[16]

Magasabb osztálytestelmélet

szerkesztés

A lokális test fogalma általánosítható a következőképpen. Emlékeztetőül, egy lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste véges. Ezt az 1-dimenziós esetnek tekintve, a fogalom induktív módon általánosítható: egy n-dimenziós lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste egy   dimenziós lokális test. (Speciálisan a véges testek tekinthetők nulla dimenziós lokális testnek.)[17]

A magasabb lokális osztálytestelméletben a test multiplikatív csoportjának szerepét az n-edik Milnor K-csoport veszi át. (Ez valóban kiterjeszti az egydimenziós esetet, mert egy test első Milnor K-csoportja a test multiplikatív csoportja.) Megfogalmazható mind a reciprocitási, mind az egzisztenciatétel általánosítása erre az esetre.[18] Az elmélet alapjait egymástól függetlenül Kato és Parsin fektették le az 1970-es években.[19]

  1. Neukirch III§8: „Von diesem Gesetz rührt auch die Bezeichnung „Reziprozitätsgesetz“, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen muss, da das Artinsche Reziprozitätsgesetz in seiner äußeren Form mit dem Gaußschen kaum mehr etwas zu tun zu haben scheint.”
  2. Neukirch II.5.9
  3. Neukirch II.5.10
  4. Neukirch II.6.1
  5. Neukirch p. 81
  6. Neukirch II.6.2
  7. Washington p. 404
  8. Neukirch III.6.13
  9. Neukirch p. 170
  10. Neukirch III.6.15
  11. Neukirch III.6.14
  12. Neukirch III.7.8
  13. Washington p. 396
  14. Washington p. 396
  15. Washington p. 398, Theorem 1
  16. Washington p. 398, Theorem 2
  17. Morrow 2.12
  18. Morrow §5.2
  19. Münster p. iii