Főmenü megnyitása
A z komplex szám és konjugáltja ábrázolása a komplex síkon

A matematikában a komplex konjugált egy komplex szám képzetes része előjelének megváltoztatásával képződik. Így a

komplex szám (ahol és valós számok) konjugáltja

A komplex konjugáltat időnként -gal jelölik. A továbbiakban a jelölés lesz, hogy elkerülhető legyen egy mátrix konjugált transzponáltjával való összecserélés. Megjegyzendő, hogy ha egy komplex számot -es vektornak tekintünk, akkor a jelölések megegyeznek.

Például:

A komplex számokat szokásosan a komplex sík egy pontjának fogják fel. A Descartes-féle koordinátarendszerben az -tengely tartalmazza a valós számokat, az -tengely pedig az többszöröseit. Ha a komplex számot a komplex számsíkon képzeljük el, akkor a konjugált az eredeti szám x-tengelyre vett tükörképe.

Poláris alakban az konjugáltja . Ez könnyen igazolható az Euler-formulával.

TulajdonságokSzerkesztés

Az alábbi tulajdonságok minden   és   komplex számra igazak:

 
 
  , ha   nem nulla
  akkor és csakis akkor, ha   valós
 
 
 , ha   nem nulla

Ha   valós együtthatós polinom, és  , akkor   is teljesül. Így valós együtthatós polinomok nem-valós komplex gyökei konjugált párokat alkotnak.

A komplex számokból komplex számokba képező   függvény folytonos. Noha igen egyszerű, nem analitikus, mert orientációfordító, míg az analitikus függvények lokálisan orientációtartók. Mivel bijektív és megőrzi a műveleteket, a komplex számtest automorfizmusa. Mivel a valós számokat fixen hagyja, a   testbővítés Galois-csoportjának eleme.  -nek pontosan két olyan automorfizmusa van, ami a valósokat fixen hagyja: az identitás és a konjugálás, azaz az említett Galois-csoport kételemű.

ÁltalánosításSzerkesztés

Általában, egy   test feletti algebrai   elem konjugáltjainak   kanonikus polinomjának gyökeit nevezzük. (A kanonikus polinom az a legalacsonyabb fokú, 1 főegyütthatós polinom, aminek   gyöke.) Ez valóban általánosítja definíciónkat, hiszen az   nemvalós komplex szám kanonikus polinomja

 

Ha   algebrai   felett, kanonikus polinomja elsőfokú faktorokra esik szét a felbontási testben:

 

ahol  . A felbontási test  -et fixen hagyó automorfizmusai megkaphatók az   leképezések segítségével ( ).