„Üres halmaz” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
2. sor:
== Definíció ==
Azt a [[halmaz]]t, amelynek egyetlen eleme sincsen, '''üres halmaznak''' nevezzük. Jelölése
== Axiomatikus halmazelméleti vonatkozások ==
Az üres halmaz ''létezése'' egy formális-axiomatikus halmazelméletben a [[részhalmazaxióma]] következménye. Ha ''A'' tetszőleges halmaz, akkor a részhalmazaxióma szerint az {x ∈ A | x ≠ x } szintén egy létező halmaz. Azt, hogy egyáltalán létezik halmaz vagy egy külön létezési axiómából tudjuk, vagy a [[végtelenségi axióma]] rögzíti. (Valójában egy ''formális'' halmazelméletben egyáltalán nem szükséges egy létezési axióma megkövetelése, hiszen az előbbi ''A'' halmaz szerepét a
Az üres halmaz egyértelműen van meghatározva a következő értelemben. A
25 ⟶ 22 sor:
Az üres halmaz egy érdekes tulajdonsága, hogy tetszőleges <math>T</math> tulajdonságra teljesül a
:<math>(\forall \,x\in\emptyset)\,T</math>
kijelentés, ellenkező esetben ugyanis létezne nem T
A [[halmaz#Halmazok számossága|halmazok számosságának]] a definíciója értelmében a üres halmaz véges halmaz és a számossága <math>0</math>. Ugyanis tetszőleges véges ''H'' halmaz számossága az ''n'' ∈ '''N''' [[természetes szám]], ha létezik [[bijekció]] ''H''-ból ''n''-be (ahol ''n'' a sztenderd halmazelméleti definíció természetes szám objektuma, melyre teljesül az ''n'' = {0,1,…,n-1} patologikus tulajdonság). Persze, n = 0 esetén az előbbi halmaz üres, így létezik <math>\emptyset</math> <math>\rightarrow</math> <math>0\,</math>=<math>\emptyset</math> bijekció, hisz az üres függvény ilyen.
|