„Nyílt halmaz” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
45. sor:
Legyen a vizsgált gömb középpontja ''x'', sugara ''r''! Legyen <math>y_1</math> az <math>U(x, r)</math> gömb egy pontja! Ekkor <math>\varepsilon_1 = r - d(x, y_1)</math> jó lesz a választott környezet sugarának, mivel <math>U(y_1, \varepsilon_1)</math> része az <math>U(x, r)</math> gömbnek. Hasonló módon belátható, hogy a zárt gömbök zártak.
Két nyílt halmaz metszete ismét nyílt; innen következik, hogy véges sok metszete szintén nyílt. Ezzel szemben nem következik, sőt, nem is igaz, hogy végtelen sok nyílt halmaz metszete is nyílt. Ha például <math>\R</math>-en, mint alaphalmazon vesszük az összes <math>(-\tfrac{1}{a}, \tfrac{1}{a})</math> alakú nyílt intervallumot, ahol ''a'' befutja a pozitív egészeket, akkor a metszet a <math>\{0\}</math>
<math>\bigcap_{a\in\N} \left(-\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right) = \left[\lim_{a\to\infty} -\frac{1}{a}, \lim_{a\to\infty} \frac{1}{a}\right] = [0,0] = \{0\} </math>
| |||