„Kvaterniók” változatai közötti eltérés

[[Halmazelmélet]]i szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

* (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)

 

A kvaterniók [[ferdetest]]et alkotnak.

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a három határozatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

 

 

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A ''C''ℓ(''V'',''Q'') Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

:<math>v^2 = Q(v)1\ \mbox{ minden } v\in V.</math>

 

 

== Alapműveletek ==

: <math>\mathrm{Im}\,x=x_1\cdot\mathrm i + x_2\cdot\mathrm j + x_3\cdot\mathrm k</math>

 

 

<math>(x_1,x_2,x_3) \in \R^3</math>.

 

 

: <math>(s,\vec v)</math>, ahol <math>s=x_0</math> és <math>\vec v=(x_1,x_2,x_3)</math>,

: <math>\mathbb H _{\text{Rein}}=\mathrm{Im}\,\mathbb H=\{x\in\mathbb H\mid\mathrm{Re}\,x=0\}=\{x\in\mathbb H\mid x^2\in\R,\ x^2\leq0\}.</math>

 

 

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

 

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak.

 

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

: <math>x_0=0 \land x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\qquad\iff\qquad x^2=-1.</math>

 

 

: <math>\mathbb C\to\mathbb H,\qquad a+b\mathrm i\mapsto a+bx,\quad a,b\in\R.</math>

: <math>\vec v\times\vec w=\frac{x\cdot y-y\cdot x}2.</math>

 

 

: <math>x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=\mathrm{Re}(\bar xy)=\mathrm{Re}(x\bar y).</math>

 

azaz a <math>\nabla</math> operátor úgy hat, mint a [[Laplace-operátor]] négyzetgyöke.

 

: <math>\rho_q\colon x\mapsto qx\bar q</math>

 

ahol ''i'' a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σ_xσ_y= '' i ''σ_z kapcsolat éppen az ''' i ''' <math>\cdot</math> ''' j '''=''' k ''' relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a '''i''', '''j''' és a '''k''' báziskvaterniókkal, ami fontos a [[kvantummechanika]] matematikai modellezésében. Közelebbről <math>\mathrm{SU(2)}\equiv\{ \exp(i\frac{1}{2}\vec\alpha\cdot\vec\sigma)\}</math>, aminek valós vektorkoordinátái α_x, α_y és α_z. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2'' π ''-vel &nbsp;(=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

 

: <math>\rho_{a,b}\colon x\mapsto ax\bar b</math>

: <math>\mathbb H\otimes_\mathbb R\mathbb H\cong M_4(\R)</math>

 

-->

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott <math>\R^2</math> Clifford-algebrájának tekinthető.

== Alkalmazásai ==

 

A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják [[robot]]ok vezérlésénél.

 

 

== Rokon témák ==

 

: <math>a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b</math> és <math>a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b</math> minden ''a'', ''b'' Cayley-számra.