„Elsőrendű nyelv” változatai közötti eltérés

Az „elsőrendű” kifejezés általában egy [[#Szemantika|szemantikai]], de [[#Szintaxis|szintaktikus]] úton definiált tulajdonságra utal, utóbbi definíció pontatlanul a következő: a függvény- és predikátumváltozók formális argumentumai –– melyek szintén változók –– nem lehetnek maguk is predikátumváltozók. A pontos szemantikai leírás [[halmazelméleti]] eszközökkel tehető meg: a nyelv tehet kijelentéseket az általa vizsgált elmélet, „univerzum” elemeiről, de az elemek tetszőleges halmazáról, vagyis az univerzum hatványhalmazának elemeiről már nem.

* A betűk egy halmaz, az ''ábécé'' különféle jelei lehetnek: pl. ún. ''individuumváltozó''k, ''fajtajel''ek, ''műveleti-'' / ''függvény-'' és ''relációjel''ek (vagy függvényváltozók és relációváltozók), ''konstansjel''ek –– ezeken kívül '''mindegyik elsőrendű nyelv, ahogyan mindegyik logikai nyelv, tartalmaz legalább két ''logikai jel''et''' (az egyik egy [[logikai művelet]] jele, a másik egy [[kvantor]]) és két elválasztójelet (általában a közönséges nyitó- és csukó [[zárójel]]eket).

Néha az „elsőrendű” kifejezésen pedig az előző tulajdonsággal szoros kapcsolatban álló, de vele mégsem teljesen ekvivalens, szintén szintaktikai jellegű tulajdonságot értenek, ti. hogy a nyelv tartalmaz kvantorokat (tehát több mint nulladrendű), de csak az individuumváltozók a valódi, logikai értelemben vett változók. Azaz csak ezek azok, melyek a nyelv [[#Interpretáció|interpretációi]] által sem egyértelműen meghatározott jelentésűek, vagy ami ezzel szoros kapcsolatban van, csak ezek a kvantifikálható változók; tehát a nyelv még nem másodrendű –– mert másodrendű nyelvekben a függvény- és predikátumszimbólumok sem egyértelműen meghatározottak az interpretáció által, hanem kvantifikálhatóak). Az utóbbi két dolog, „interpretációfüggetlenség”/„logikaiság” és kvantifikiálhatóság valóban majdnem ugyanaz, hisz nem-logikai változók kvantifikálása a logikában valóban teljesen értelmetlen/lehetetlen, hiszen ezek egy adott interpretációban konkrét és rögzített jelentést kapnak [[#Példa x.|(lásd az x. példát)]].

** Vegyük észre, hogy „az interpretáció kivisz minket a nyelvből”: az interpretált szimbólumok már nem részei az adott logikai nyelvnek. E szempontból egy logikai nyelv bármely szimbóluma &ndash;– az ún. logikai összekötőjeleket leszámítva, melyek halmazát később <math> L </math>-lel fogjuk jelölni &ndash;– értelmetlennek nevezhető (más szempontból azonban nem, hogy ti. a szimbólumok interpretálhatóak, tehát lehet hozzájuk jelentést tulajdonítani &ndash;– csakhogy a jelentés már kívül van a nyelven).

** Megjegyzés: a dolog nem mindig jelenti a logikai nyelv kifejezőerejének semmisségét (néhány fontos nyelvben &ndash;– például a [[halmazelmélet]]et leíró [[#A halmazelmélet nyelve|elsőrendű nyelvben]] a ''konstansszimbólumok'' segítenek ezen). Gyakran előfordul pl., hogy úgy válassztjuk meg őket, hogy a konstans- és függvényszimbólumokból képezett kifejezések segítségével a nyelv által leírt struktúrák univerzumának minden eleme előálljon. Ilyen esetben tulajdonképp a nyelv szavainak interpretálatlanul is értelmet tulajdoníthatunk. Azonban ilyen kitüntetett konstans elemek sok nyelvben nem léteznek (pl. a három[[dimenzió]]s [[euklideszi geometria|euklideszi geometriát]] leíró elsőrendű nyelvben a pontok közt nincs kitüntetett), így ez a követelmény nem építhető a matematikai definícióba.

** Hangsúlyozni kell tehát, hogy az elsőrendű nyelv valójában nem pusztán szimbólumhalmazból álló formális nyelv, hanem van szintaxisa és szemantikája is. Azonban, ahogy az látható is lesz lentebb, ezt a matematikai definícióba &ndash;– különféle okok miatt &ndash;– nem minden szerző szokta beleépíteni, ami viszont bizonyos hiányt okoz. Ennek betöltésére két megoldás is elképzelhető:

** <math>\sigma </math> a nyelv(bázis) '''''[[#Szignatúra|szignatúrája]]'''''; ami megadja, az ábécé elemei formálisan hány változósak és a változók milyen fajtájúak &ndash;– mellesleg a szignatúra maga is egy halmazrendszer (függvényrendszer);

Egy formális nyelv felépítését lehetővé tévő elemek összességére, ami nálunk a <math> \left( \Lambda, \sigma, \Sigma \right) </math> elemhármast jelenti, [[Ruzsa Imre]] [[filozófus]] vezette be a [[nyelvbázis]] fogalmát (bár az ő definíciója eltér az ittenitől, ennél bővebb, pontosabb). Más szerzők is definiálnak hasonló fogalmakat, csak ''jelkészlet''nek nevezik (a jelkészletbe nem szokás beleérteni a szintaktikai szabályokat, csak az [[#Az ábécé|ábécét]] és a [[#Szignatúra|szignatúrát]] &ndash;– így e fogalom sokkal egyszerűbb, de épp azért, mert a szintaxis egy része „elsikkad”).

* <math> Z </math> a zárójelek és '''''kiegészítő jel'''''ek (vessző) halmaza &ndash;– a legtöbb szerzőnél Z = { , , ( , ) }.

* Ha <math> Sr = \empty </math>, egyfajtájú, egyébként többfajtájú nyelvről beszélünk (egyfajtájú a legtöbb matematikai diszciplina leírására használt nyelv, többfajtájú a geometria nyelve, mert a változók többféle halmazból &ndash;– pontok, egyenesek, síkok, esetleg terek, hipersíkok stb. &ndash;– vehetnek fel értékeket). Sok szerző nem is szokta az egyfajtájú/többfajtájú megkülönböztetést véghezvinni, hanem csak egyfajtájú nyelveket vizsgál.

A szintaxis elemei: a szimbólumokat &ndash;– röviden mondjuk úgy, hogy egymással való összekapcsolhatóságuk szempontjából &ndash;– szintaktikai osztályokba soroljuk, ehez bevezetjük a [[#Szignatúra|szignatúra]] (vagy típus stb.) fogalmát vagy valamilyen hasonló segédfogalmat. Maguk a szimbólumokból összetett kifejezések is szintaktikai &ndash;– azaz betűkből való felépítésük szerinti &ndash;– osztályokba sorolhatóak, az egyes osztályok felépítését a [[#A szintaktikai szabályok|szintaktikai szabályok]] adják meg.

# Ha <math> x \in V </math> individuumváltozó, ''A'' tetszőleges formula, ''Q'' pedig kvantor &ndash;– <math> Q \in \left\{ \forall , \exist \right\} </math> &ndash;– akkor <math> Qx(A) </math> is formula. Az ilyen alakú formulákat '''''kvantált formulá'''''nak (kvantifikációnak) nevezzük. Tehát pl. ekkor <math> \forall x(P(x,y)) </math> is kvantált formula (''univerzálisan'' kvantált) és <math> \exist x(P(x,z)) </math> is kvantált formula (''egzisztenciálisan'' kvantált). Ha <math> A </math> atomi formula, a zárójelezés elhagyható.

* Mivel minden [[függvény]] [[reláció]]nak tekinthető, és minden konstansjel &ndash;– nullváltozós &ndash;– függvénynek, elegendő lenne az ábécében az ''F'', ''P'', ''C'' halmazokat összevonni, és pusztán ''R'' relációjelekről beszélni. Egyes szerzők ezt meg is teszik, mi e cikkben nem; ízlés kérdése.

* Legyen <math> i>1 </math>. Ha már definiáltuk az <math> F_{i} := K_{i} \cup O_{i} \cup F_{i-1} </math> halmazt &ndash;– természetesen az <math> K_{i}, O_{i} </math>-vel együtt, akkor definiálható <math> K_{i+1} , O_{i+1} </math>, és innen <math> F_{i+1} </math> is.

* <math> \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P} \left( \mathcal{U} \right) </math> az <math> \mathcal{U} </math> valamilyen [[partíció (matematika)|partíciója]], azaz az univerzumnak egy, lehetőleg véges <math> I </math> [[halmazrendszer|indexhalmaz]] feletti <math> \mathcal{T} := \left\{ \ \mathcal{U} _{i} \ \mathcal{j} \ i \in I \ \right\} </math> nemüres halmazokból álló, páronként diszjunkt, a tagokat egyesítve épp <math> \mathcal{U} </math> -t kiadó [[halmazrendszer]]e; a <math> \mathcal{T} </math> rendszer elemeit, azaz <math> \mathcal{U} </math> osztályait az univerzumelemek '''''fajtá'''''inak ([[Angol nyelv|ang.]] ''tribe'', ''sort'') nevezzük; * <math> \mathcal{R} </math> efölött értelmezett valahány (véges) változós [[reláció]]k (<math> \rho \subseteq \mathcal{U} _{1} \times \mathcal{U} _{2} \times ... \mathcal{U} _{n} </math> alakú halmazok) vagy [[predikátum]]ok (<math> \rho \in \mathcal{R} </math> relációk [[karakterisztikus függvény]]eit, azaz az <math> \chi _{ \rho } : </math> <math> : \mathcal{U} _{1} \times \mathcal{U} _{2} \times ... \times \mathcal{U} _{ \alpha _{ \rho } } \mapsto \left\{ 0 , 1 \right\} ; </math> <math> \ \forall x \in \mathcal{U} _{1} \times \mathcal{U} _{2} \times ... \mathcal{U} _{ \alpha _{ \rho } } : \left( \chi _{ \rho} (x) = 1 : \Leftrightarrow x \in \rho \right) </math> előírással definiált függvényeket ('''''0''''', '''''1''''' itt felfoghatóak logikai értékeknek)) halmaza; ahol <math> n \in \mathbb{N} </math> csak a <math> \rho </math> -tól függő természetes szám lehet; a <math> \rho </math> reláció/predikátum ''aritás''a vagy változószáma; jele <math> \alpha _{ \rho } </math>; informális szemléletben &ndash;– a predikátumok a normális köznyelven vagy a matematika nyelvein tett eldönthető kijelentések, a relációk pedig épp ezek halmazelméleti modelljei. Matematikailag sincs köztük lényeges különbség, a logikában inkább a predikátumos kifejezésmódot használjuk (a halmazelméletben a relációsat).

Röviden szólva, az interpretáció egy olyan leképezés(rendszer), mely egy nyelv egyes főbb elemeinek (a változókat kivéve szinte mindennek &ndash;– konstansok, függvényjelek, relációjelek) egy adott struktúra megfelelő elemeit felelteti meg. Ha összevetjük ezt a szakaszt a bevezetéssel, rájöhetünk, hogy az elsőrendűség fogalma és az interpretáció fogalmának definíciója szoros kapcsolatban van. Többedrendű nyelvekre más lesz a definíció.

* ''Pásztorné Varga Katalin'' &ndash;– ''Várterész Magda'': '''''A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása'''''. Panem, Bp., [[2003]]. ISBN 963-545-364-7.

* ''Fritz Reinhardt'' &ndash;– ''Heinrich Soeder'' : '''''SH Atlasz - Matematika'''''. Springer-Verlag, Bp., 1995. ISBN 963-8455-91-8.