„Diszkrét eloszlás” változatai közötti eltérés

a
hiv. korr, egyéb apróság AWB
a (Bot: 12 interwiki link migrálva a Wikidata d:q1045168 adatába)
a (hiv. korr, egyéb apróság AWB)
Azoknak a [[valószínűségi változó]]knak nevezzük az eloszlását '''diszkrétnek''', melyek 1 [[valószínűség]]gel vesznek fel értékeket egy olyan halmazból, aminek [[megszámlálhatóan sok]] eleme van.
 
'''Formálisan''': az ''X'' valószínűségi változó eloszlását diszkrétnek nevezzük ⇔ ∃ ''H'' = {x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, … , x<sub>''i''</sub>, …} : '''P'''(X ∈ ''H'') = 1. (Nyilván |''H''| = [[א|ℵ<sub>0</sub>]].)
 
'''Szemléletesen''' ez azt jelenti, hogy a diszkrét eloszlású valószínűségi változó olyan, amivel kapcsolatban fel lehet sorolni, hogy milyen értékeket tud felvenni (0-nál nagyobb valószínűséggel). Ilyen például az a valószínűségi változó ami azt írja le, hogy egy [[lottó]] sorsoláson mi lesz az elsőnek kihúzott szám. A felvehető értékek az 1 és 90 közötti egész számok.
 
Nem diszkrét eloszlású például az a valószínűségi változó, ami a [0,1] [[intervallum]]on [[egyenletes eloszlás]]ú, vagyis ami 0 és 1 között bármilyen [[valós számszámok|valós]] értéket felvehet és bármelyik [0,1] által tartalmazott intervallumba pont olyan valószínűséggel esik, mint az adott intervallum hossza. Ez a valószínűségi változó ugyanis ''bármely'' x<sub>''i''</sub> ∈ [0,1] értéket 0 valószínűséggel veszi fel. Bárhogy választunk ki megszámlálható sok ilyen elemet, az együttes valószínűségük továbbra is 0 lesz. Ha viszont úgy választunk egy részhalmazt [0,1]-ből, hogy abból a részhalmazból 1 valószínűséggel vegyen fel értéket, akkor megmutatható, hogy ennek a részhalmaznak az elemei nem sorolhatóak fel, vagyis nem alkotnak [[megszámlálható halmaz]]t.
 
A diszkrét eloszlású valószínűségi változók a valószínűségi változók egy igen fontos osztályát alkotják. Speciális tulajdonságuknál fogva matematikai szempontól jól viselkednek. Például a valószínűségi változó várható értékének általános
</math></center>
 
képlete helyett (mely [[mérték szerinti integrál]] vagy [[Lebesgue-Stieltjes-integrál]] kiszámítását igényelné) a diszkrét eloszlású változók estében használhatjuk a
 
<center><math>
* Szokták a diszkrét eloszlású valószínűségi változókat úgy is definiálni, mint azok a valószínűségi változók, amik egy megszámlálhatóan sok elemű halmazból veszik fel értékeiket. Ha megfigyeljük, a szócikkben adott definíció ennél tágabb, hisz megengedi azt, hogy legyenek esetleg még olyan értékek, melyeket a valószínűségi változó felvehet, ám 0 valószínűséggel. Ezekkel a 0 valószínűségű értékekkel együtt lehetséges, hogy a valószínűségi változó által felvehető értékek halmaza már nem megszámlálható halmaz, hanem annál nagyobb [[számosság]]ú. A legtöbb valószínűség-számítási tétel és eredmény szempontjából nem jelent lényeges különbséget az, ha megengedjük ezeket az együttesen is csak 0 valószínűséggel előforduló eseteket. (Azon múlik, hogy nem okoz lényeges különbséget, hogy – [[mértékelmélet (matematika)|mértékelméleti]] kifejezéssel élve – csak egy [[nullmértékű halmaz]]on engedtük meg, hogy máshogy viselkedjen a függvény, mint a szűkebb definíció esetében.)
 
* Bár a fenti lottós példában a valószínűségi változó csak 90 különböző értéket vehet fel, vegyük észre, hogy a definíció megengedi, hogy a 0-nál nagyobb valószínűséggel felvett értékek akár [[végtelen]] sokan legyenek. Ez amiatt van, hogy a [[megszámlálhatóan sok|megszámlálhatóság]] nem végességet, hanem lényegében felsorolhatóságot jelent. (Meg lehet mutatni, hogy például a [0,1] intervallumba eső valós számok nem sorolhatóak fel, s így valamilyen értelemben „többen vannak”, mint a [[természetes számszámok]]ok.)
 
* Ha megfigyeljük, a definíció határozottan végtelennek tünteti fel az ''X'' lehetséges értékeinek halmazát. Ennek ellenére a lottós példán láttuk, hogy lehet ez a halmaz [[véges halmaz|véges]] is. Véges sok felvehető érték esetében az {x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, … , x<sub>''i''</sub>, …} halmaz elemei egy megfelelő x<sub>''j''</sub> felett 0 valószínűséggel következnek be. A lottó konkrét esetében ez az x<sub>''j''</sub> elem a 90. elem.
 
* Érdemes kiemelni, hogy a diszkrét eloszlású valószínűségi változóra, még az első megjegyzésben elített szűkebb definíció esetén se teljesül feltétlenül, hogy az általa felvehető értékek [[topológia]]i értelemben [[diszkrét halmaz]]t alkotnak.
 
* A [[valószínűség-számítás]]ban szoktak [[diszkrét valószínűségi változó]]ról is beszélni. A diszkrét valószínűségi változók pontosan a diszkrét eloszlással rendelkező valószínűségi változók. Mivel az eloszlásukban azonos valószínűségi változók önmagukban egymástól lényegében megkülönböztethetetlenek a valószínűség-számítás számára, így a diszkrétség valószínűségi változóra és eloszlásra megfogalmazott formája tulajdoképp ugyanazt a fogalmat takarja.
324 368

szerkesztés