„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a hiv. korr, + egyéb apróság AWB |
|||
1. sor:
A '''kontinuumhipotézis''' a [[matematika]] [[halmazelmélet]] nevű ágának egyik kijelentése („igazságértékére” vonatkozóan lásd később), amit [[Cantor]] vetett fel kérdésként, amikor a [[Cantor-tétel]]ben rámutatott, hogy többféle rendű végtelen számosságú halmaz létezik a halmazelméletben. Legközérthetőbb formájában kontinuumhipotézisen a következőt értjük:
:''a [[valós
Másképp fogalmazva:
:''nincs olyan halmaz, amelynek [[számosság]]a a valós számok számossága ([[kontinuum-számosság]]) és a [[természetes számok]] számossága ([[megszámlálhatóan végtelen]]) közé esne.''
8. sor:
A [[Cantor-tétel]] azt állítja, hogy ha ''H'' tetszőleges [[halmaz]], akkor a ''H'' halmaz és a ''P(H)'' halmaz ''(H'' [[hatványhalmaz]]a) számosságára érvényes a következő „szigorú” egyenlőtlenség:
:<math>|H|<|\mathcal{P}(H)|</math>
Tehát végtelen halmazból nem egyféle van, mert egy végtelen halmaz hatványhalmaza „végtelenebb”, vagy magasabb rendűen végtelen, mint maga a halmaz. Ez azt jelenti, hogy nem feleltethető meg a két halmaz egymásnak úgy, hogy az egyik halmaz egy elemét a másik halmaz pontosan egy eleméhez rendeljük és fordítva. A legegyszerűbb végtelen halmaz a természetes számok '''N''' halmaza. Cantor azt is bebizonyította, hogy a valós számok '''R''' halmaza ennél magasabbrendűen végtelen (belátható ugyanis, hogy '''R'''-ben ugyanannyi elem van, mint ''P''('''N''')-ben, azaz '''N''' hatványhalmazában). Minthogy a végtelen halmazok jellegzetes (karakterisztikus) tulajdonsága, hogy azonos számosságú egy valódi részhalmazával, felvethető a kérdés, hogy '''R'''-ben saját magával és '''N'''-nel azonos számosságú részhalmazain kívül van-e más végtelen számosságú részhalmaz.
A kontinuumhipotézist Hilbert olyan súlyú kérdésnek ítélte, hogy nevezetes problémái közül az első helyen említette ([[Hilbert-problémák]]). A megoldást [[Kurt Gödel]] és [[Paul Cohen]] szolgáltatta, de nem várt eredményre jutottak. Gödel [[1940]]-ben (a Gödel-féle [[konstruálható halmazok]] segítségével) bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható, míg Cohen[[1963]]-ban (a [[forszolás]] általa kifejlesztett módszerével) pedig belátta,
16. sor:
A számosságaritmetika jelöléseivel ez a következőket jelenti. <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> a természetes számok számossága. Van <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math>-ra rákövetkező számosság is, ezt <math>\mbox{ }_{\aleph_1}</math>-gyel jelöljük. Belátható, hogy <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> értékét nem hagyhatjuk el, sem összeadással, sem szorzással, az viszont biztos, hogy hatványozással már igen: <math>\mbox{ }_{2^{\aleph_0}>\aleph_0}</math>, tehát <math>\mbox{ }_{\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}}</math>. A kontinuumhipotézis azt mondja, hogy
:<math>\aleph_1= 2^{\aleph_0}</math> (ez a kijelentés tehát független ZFC-től).
Az előbbi gondolatmenet akármilyen <math>\alpha</math> [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszám]]ra is megismételhető. Ekkor az [[általánosított kontinuumhipotézist]] kapjuk – valójában Gödel és Cohen ennek a függetlenségét látták be:
:<math>\aleph_{\alpha+1}= 2^{\aleph_{\alpha}}</math>.
Nem sokkal Cohen munkája után [[Robert Solovay|Solovay]] igazolta, hogy <math>2^{\aleph_0}</math> bármelyik számosság lehet, aminek a [[kofinalitás]]a nagyobb ω-nál (a [[Kőnig-egyenlőtlenség]] kizárja, hogy ω kofinalitású számosság legyen, tehát például <math>{\aleph_\omega}</math>). Ezért olybá kezdett tűnni, hogy míg a számosságok összeadása és szorzása azért triviális témakör, mert már mindent elmondtak róla, addig a hatványozás azért, mert a hatvány értéke lényegében bármi lehet.
[[Saharon Shelah]] mutatott azonban rá arra, hogy a kontinuumhipotézis témakörében a kérdést szinte napjainkig rosszul tették fel. Shelah létrehozott egy új módszert (a [[pcf-elmélet]]et), amely segítségével új és meglepő eredményeket sikerült elérnie, többek között a szinguláris számosságokra vonatkozóan. Például belátta, hogy
| |||