„Wedderburn-tétel” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a hiv. korr, + egyéb apróság AWB |
|||
7. sor:
'''Tétel:''' Minden véges ferdetest kommutatív.
'''Bizonyítás:''' Legyen <math>\mathbb D</math> véges ferdetest. Tekintsük <math>\mathbb D</math> [[centrum (algebra)|centrum]]át; ez test. Jelöljük ezt a testet <math>\mathbb F</math>-fel, és elemszámát ''q''-val. <math>\mathbb D</math> ''n'' [[dimenzió]]s [[vektortér]] ''F'' fölött egy ''n'' [[természetes számok|természetes szám]]ra.
<math>\mathbb D</math> elemszáma ezzel ''q''<sup>''n''</sup>, ezért multiplikatív [[csoport]]ja ''q''<sup>''n''</sup>-1 elemű (nem tartalmazza a nullelemet). Megmutatható, hogy ennek centruma ''F'' multiplikatív csoportja. Legyen <math>a \in \mathbb D \setminus \mathbb F.</math>
Vegyük ''a'' [[centralizátor]]át. Ez azokból az elemekből áll, amikkel ''a'' felcserélhető. Ez részferdetest <math>\mathbb D</math>-ben; elemszáma ''q''<sup>''d''</sup>, ahol ''d'' osztója ''n''-nek. Ennek multplikatív csoportja megegyezik a <math>\mathbb D</math> multiplikatív csoportjában vett centralizátorral.
<math>\mathbb D</math> multiplikatív csoportjának osztályegyenletével
17. sor:
:<math>q^n-1=q-1 + \sum_{d<n:d \mid n} \frac{q^n-1}{q^d-1}</math>
Az ''n''-edik körosztási polinom osztója az <math>\frac{x^n-1}{x^d-1}</math> hányadosnak minden ''d'' < ''n'' osztóra.
Ebből <math>\Phi _n(q) \mid q-1,</math> ahol <math>q \geq 2.</math> Ez csak úgy lehet, hogy ''n'' = 1, tehát <math>\mathbb F= \mathbb D.</math>
25. sor:
* [http://www.cs.elte.hu/~pelikan/11_Testek.pdf Pelikán József: Algebra]
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Testelmélet]]
[[Kategória:Matematikai tételek]]
| |||