„Topológia” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
a Bot: es:Topología egy kiemelt cikk; kozmetikai változtatások |
||
15. sor:
: 1. '''Halmazelméleti topológia''' a halmazok szerkezetével, az elemek környezetével, a leképezésekkel, a folytonossággal stb. foglalkozik. Szokták '''geometriai''' topológiának, vagy a '''ponthalmazok''' topológiájának is nevezni.
:2. '''Algebrai topológia''' algebrai eszközök segítségével építi fel fogalom- és tételrendszerét. Ennek alfejezeteként nevesítik a
:3. '''Gráfelmélet''' a [[gráf]]oknak nevezett (pontokból és azokat összekötő élekből álló) topologikus alakzatok speciális feladataival foglalkozik.
21. sor:
:Néhány elemző elkülöníti a '''differenciál''' topológiát, míg más osztályozások a '''leíró''' és az '''általános''' topológia terminusokat használják. Ez is mutatja a tudományterület fejlődésének dinamizmusát.
'''Fontos alapfogalmai''': a topologikus tér,
== Topologikus tér ==
Legyen ''H'' egy halmaz és ennek részhalmazaiból álló '''T'''
Ha teljesülnek a következő axiómák:
40. sor:
Egy olyan halmazrendszer, aminek összes uniója a topológiát adja, a [[topológia bázisa]]. Erre az teljesül, hogy elemeinek véges metszete előáll a halmazrendszer néhány elemének nem feltétlenül véges uniójaként. Egy halmazrendszer, aminek összes metszete bázis, a topológia [[előbázis]]a. Az előbázisra már nincs megkötés; a részhalmazok bármely rendszere lehet előbázis. Ha egy topológiának van megszámlálható bázisa, akkor a topológia M2.
=== Nevezetes topológiák ===
* '''Természetes (standard) topológia''': Amennyiben az <math>\Re^1</math> valós számegyenesen egy részhalmazt akkor nevezünk nyíltnak, ha az vagy üres, vagy minden pontjával együtt annak nyílt intervallumát is tartalmazza, akkor az összes ilyen nyílt halmazból álló <math>S^1</math> halmazrendszer a valós számhalmazon egy ú.n. '''természetes topológia'''. A <math><\Re^1;S^1></math> topologikus tér a valós analízis felépítésének alapja.
* '''Diszkrét topológia''': A ''H'' halmaz minden részhalmazát tartalmazó topológiát diszkrétnek nevezzük.
* '''Indiszkrét topológia''': A kizárólag az üres halmazt és magát ''H''-t tartalmazó topológiát indiszkrétnek nevezzük.
* '''Véges-zárt topológia''': A véges zárt topológia tartalmazza az üres halmazt, valamint ''H'' minden olyan részhalmazát, amelynek a komplementere véges. Mivel az üreshalmaz (''H'' komplementere) véges, ezért ''H'' értelemszerüen nyílt ebben a topológiában.
=== Speciális topologikus terek ===
71. sor:
A Hausdorff-térnél erősebb elválaszthatósági tulajdonságok a pontok és a zárt halmazok (T3), vagy a zárt halmazok egymástól (T4) való elválaszthatóságát követelik meg. Ha még a pontok is zártak, akkor a tér T3 teljesülése esetén reguláris, T4 esetén normális.
=== Összefüggőség ===
Egy topologikus tér [[összefüggőség|összefüggő]], ha nem bontható fel két nyílt valódi részhalmaza uniójára. [[összefüggőség|Útösszefüggő]], ha bármely két pontja között van út. Az utak a [0,1] intervallum leképezései a topologikus térbe. Ha egy út kezdő- és végpontja egybeesik, akkor az út hurok.
83. sor:
Egy halmaz azonban nem kizárólagosan ''nyílt'' vagy ''zárt'', előfordulhat, hogy egyszerre nyílt és zárt, mivel eleme a topológiának, de emellett egy másik nyílt halmaz komplementere is. Ezeket nevezzük ''nyílt-zárt'' halmazoknak. Az üres halmaz, valamint ''H'' maga konstrukciójukból fakadóan nyílt-zártak. Azokról a halmazokról, amelyek a fenti kategóriák egyikébe sem tartoznak, nem tudunk mondani semmit.
=== Kompaktság ===
Egy halmaz ''kompakt'', ha bármely nyílt fedéséből kiválasztható véges részfedés. Ekvivalensen, valahányszor adva van zárt részhalmazok rendszere úgy, hogy egy véges metszet sem üres, akkor az összes metszete sem üres. Egy halmaz megszámlálhatóan kompakt, ha megszámlálható sok részhalmazra kielégíti az előbbi tulajdonságokat. Ekvivalensen, zárt halmazok minden szűkülő sorozatának metszete nem üres. Ha minden végtelen részhalmaznak van torlódási pontja, akkor ''sorozatkompakt''.
A megszámlálhatóan kompakt ''M2''-terekben nem gyengébb a kompaktnál, és ''M1''-terekben a sorozatkompaktság is ekvivalens a kompaktságnál.
=== Szorzatterek és faktorterek ===
Két topologikus tér szorzata az a topologikus tér, aminek tartóhalmaza a két tartóhalmaz szorzata, és a topológiák szorzata a szorzattér bázisa. Ez az a minimális topológia, amiben a tényezőkre vetítés folytonos.
162. sor:
A homotópnak lenni ekvivalenciareláció. Egy ''X'' topologikus térben az adott kezdőpontú hurkok homotópiaosztályai csoportot alkotnak az egymás után fűzésre, mint szorzásra. A csoport egységeleme a konstans hurok, és egy hurok inverze a megfordítottja, vagyis a visszafelé bejárt hurok. Ez az adott tér [[fundamentális csoport]]ja. A fundamentális csoportok vizsgálatával az [[algebrai topológia]] foglalkozik.
=== Fedőleképezés ===
Legyen ''E'' és ''B'' topologikus tér, és ''E'' összefüggő. A ''p'': ''E'' → ''B'' lokális homeomorfizmus [[fedőleképezés]], ha ''B'' minden ''b'' pontjának van ''U'' környezete, aminek az ősképe nyílt halmazok diszjunkt uniója, és minden ilyen nyílt halmazt ''p'' homeomorf módon képez ''U''-ra. Ekkor ''B'' bázis, ''E'' fedőtér, és a diszjunkt unió elemei rétegek. A fedés rétegszáma mindenütt ugyanannyi.
175. sor:
== Források ==
* '''Reinhard''',F.-'''Soeder''',H.: SH atlasz-Matematika, Springer Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
* Szűcs András: Topológia
{{Portál|matematika}}
184. sor:
{{Link FA|ka}}
{{Link GA|es}}
| |||