„Kontinuumhipotézis” változatai közötti eltérés

:''nincs olyan halmaz, amelynek [[számosság]]a a valós számok számossága ([[kontinuum-számosság]]) és a [[természetes számok]] számossága ([[megszámlálhatóan végtelen]]) közé esne.''

 

 

A [[Cantor-tétel]] azt állítja, hogy ha ''H'' tetszőleges [[halmaz]], akkor a ''H'' halmaz és a ''P(H)'' halmaz ''(H'' [[hatványhalmaz]]a) számosságára érvényes a következő „szigorú” egyenlőtlenség:

hogy nem bizonyítható a [[Zermelo–Fraenkel axiómarendszer]]ben. A kettő együtt azt jelenti, hogy az állítás konzisztens és független, vagyis az állítás hozzávétele sem okoz ellentmondást, és a tagadás hozzávétele sem. Ezzel megszületett a válasz Hilbert 1. problémájára.

 

 

A számosságaritmetika jelöléseivel ez a következőket jelenti. <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> a természetes számok számossága. Van <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math>-ra rákövetkező számosság is, ezt <math>\mbox{ }_{\aleph_1}</math>-gyel jelöljük. Belátható, hogy <math>\mbox{ }_{\aleph_0}</math> értékét nem hagyhatjuk el, sem összeadással, sem szorzással, az viszont biztos, hogy hatványozással már igen: <math>\mbox{ }_{2^{\aleph_0}>\aleph_0}</math>, tehát <math>\mbox{ }_{\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}}</math>. A kontinuumhipotézis azt mondja, hogy

:<math>\aleph_1= 2^{\aleph_0}</math> (ez a kijelentés tehát független ZFC-től).

 

:<math>\aleph_{\alpha+1}= 2^{\aleph_{\alpha}}</math>.

Nem sokkal Cohen munkája után [[Robert Solovay|Solovay]] igazolta, hogy <math>2^{\aleph_0}</math> bármelyik számosság lehet, aminek a [[kofinalitás]]a nagyobb ω-nál (a [[Kőnig-egyenlőtlenség]] kizárja, hogy ω kofinalitású számosság legyen, tehát például <math>{\aleph_\omega}</math>). Ezért olybá kezdett tűnni, hogy míg a számosságok összeadása és szorzása azért triviális témakör, mert már mindent elmondtak róla, addig a hatványozás azért, mert a hatvány értéke lényegében bármi lehet.

Kiderült, hogy bár sok számosságra a hatványfüggvényt tetszőlegesen választhatjuk (az axiómák szintjén, a függetlenség által), de az egész hatványozásra vonatkozóan teljesülnek bizonyos algebrai tulajdonságok, szabályosságok, melyek ugyanúgy levezethetők, mint a halmazelmélet összes tétele.

 

* [http://www.ams.org/bull/1996-33-03/S0273-0979-96-00673-8/S0273-0979-96-00673-8.pdf Recenzió S. Shelah ''Cardinal arithmetic'' című könyvéhez]

* [http://www.renyi.hu/~csirmaz/shelah/sh.pdf Csirmaz László: Saharon Shelah laudációja a Bolyai Díj alkalmából]

 

[[Kategória:Halmazelméleti axiómarendszerek és megalapozási paradigmák]]